Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102250 / 96098
↖ ↑ ↗
← S 63.978371°
E100.838013°		 ← 133.99 m → S 63.978371°
E100.840759°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
S 63.979576°
E100.838013°		 ← 133.99 m →
17 952 m²		 S 63.979576°
E100.840759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780109405517578 y=0.733173370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780109405517578 × 217)
    floor (0.780109405517578 × 131072)
    floor (102250.5)     		tx = 102250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733173370361328 × 217)
    floor (0.733173370361328 × 131072)
    floor (96098.5)     		ty = 96098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102250 / 96098 ti = "17/102250/96098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102250/96098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102250 ÷ 217
    102250 ÷ 131072     		x = 0.780105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96098 ÷ 217
    96098 ÷ 131072     		y = 0.733169555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780105590820312 × 2 - 1) × π
    0.560211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75995533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733169555664062 × 2 - 1) × π
    -0.466339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46504752618816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75995533} λ = 1.75995533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46504752618816))-π/2
    2×atan(0.231067009482197)-π/2
    2×0.227081552087617-π/2
    0.454163104175233-1.57079632675     		φ = -1.11663322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75995533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11663322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.978371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102250 KachelY 96098 1.75995533 -1.11663322 100.838013 -63.978371
    Oben rechts KachelX + 1 102251 KachelY 96098 1.76000327 -1.11663322 100.840759 -63.978371
    Unten links KachelX 102250 KachelY + 1 96099 1.75995533 -1.11665425 100.838013 -63.979576
    Unten rechts KachelX + 1 102251 KachelY + 1 96099 1.76000327 -1.11665425 100.840759 -63.979576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11663322--1.11665425) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dl = 133.982130000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11663322--1.11665425) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dr = 133.982130000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75995533-1.76000327) × cos(-1.11663322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438710411445166 × 6371000     		do = 133.993452061257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75995533-1.76000327) × cos(-1.11665425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438691513190872 × 6371000     		du = 133.987680047954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11663322)-sin(-1.11665425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438710411445166-0.438691513190872)×R²
    abs(1.76000327-1.75995533)×1.88982542942973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88982542942973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88982542942973e-05×40589641000000     		ar = 17952.341440729m²