Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102249 / 97071
↖ ↑ ↗
← S 65.126483°
E100.835266°		 ← 128.44 m → S 65.126483°
E100.838013°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.127638°
E100.835266°		 ← 128.43 m →
16 505 m²		 S 65.127638°
E100.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780101776123047 y=0.740596771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780101776123047 × 217)
    floor (0.780101776123047 × 131072)
    floor (102249.5)     		tx = 102249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740596771240234 × 217)
    floor (0.740596771240234 × 131072)
    floor (97071.5)     		ty = 97071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102249 / 97071 ti = "17/102249/97071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102249/97071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102249 ÷ 217
    102249 ÷ 131072     		x = 0.780097961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97071 ÷ 217
    97071 ÷ 131072     		y = 0.740592956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780097961425781 × 2 - 1) × π
    0.560195922851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75990740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740592956542969 × 2 - 1) × π
    -0.481185913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51169012951847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75990740} λ = 1.75990740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51169012951847))-π/2
    2×atan(0.220536926825874)-π/2
    2×0.217062386519271-π/2
    0.434124773038541-1.57079632675     		φ = -1.13667155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75990740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.835266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13667155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.126483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102249 KachelY 97071 1.75990740 -1.13667155 100.835266 -65.126483
    Oben rechts KachelX + 1 102250 KachelY 97071 1.75995533 -1.13667155 100.838013 -65.126483
    Unten links KachelX 102249 KachelY + 1 97072 1.75990740 -1.13669172 100.835266 -65.127638
    Unten rechts KachelX + 1 102250 KachelY + 1 97072 1.75995533 -1.13669172 100.838013 -65.127638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13667155--1.13669172) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13667155--1.13669172) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75990740-1.75995533) × cos(-1.13667155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420616526359475 × 6371000     		do = 128.440316340756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75990740-1.75995533) × cos(-1.13669172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420598227272906 × 6371000     		du = 128.434728494535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13667155)-sin(-1.13669172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420616526359475-0.420598227272906)×R²
    abs(1.75995533-1.75990740)×1.82990865686961e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82990865686961e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82990865686961e-05×40589641000000     		ar = 16504.615934376m²