Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102248 / 98536
↖ ↑ ↗
← S 66.765919°
E100.832520°		 ← 120.49 m → S 66.765919°
E100.835266°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.767003°
E100.832520°		 ← 120.48 m →
14 515 m²		 S 66.767003°
E100.835266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780094146728516 y=0.751773834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780094146728516 × 217)
    floor (0.780094146728516 × 131072)
    floor (102248.5)     		tx = 102248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751773834228516 × 217)
    floor (0.751773834228516 × 131072)
    floor (98536.5)     		ty = 98536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102248 / 98536 ti = "17/102248/98536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102248/98536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102248 ÷ 217
    102248 ÷ 131072     		x = 0.78009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98536 ÷ 217
    98536 ÷ 131072     		y = 0.75177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78009033203125 × 2 - 1) × π
    0.5601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75985946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75985946} λ = 1.75985946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58191768746185))-π/2
    2×atan(0.205580480838924)-π/2
    2×0.202755603188791-π/2
    0.405511206377583-1.57079632675     		φ = -1.16528512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75985946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.832520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16528512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.765919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102248 KachelY 98536 1.75985946 -1.16528512 100.832520 -66.765919
    Oben rechts KachelX + 1 102249 KachelY 98536 1.75990740 -1.16528512 100.835266 -66.765919
    Unten links KachelX 102248 KachelY + 1 98537 1.75985946 -1.16530403 100.832520 -66.767003
    Unten rechts KachelX + 1 102249 KachelY + 1 98537 1.75990740 -1.16530403 100.835266 -66.767003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16528512--1.16530403) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16528512--1.16530403) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75985946-1.75990740) × cos(-1.16528512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394488560256022 × 6371000     		do = 120.486960437651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75985946-1.75990740) × cos(-1.16530403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39447118377038 × 6371000     		du = 120.481653211665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16528512)-sin(-1.16530403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394488560256022-0.39447118377038)×R²
    abs(1.75990740-1.75985946)×1.73764856425951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73764856425951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73764856425951e-05×40589641000000     		ar = 14515.4203605348m²