Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102245 / 96912
↖ ↑ ↗
← S 64.942160°
E100.824280°		 ← 129.36 m → S 64.942160°
E100.827027°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
S 64.943324°
E100.824280°		 ← 129.35 m →
16 738 m²		 S 64.943324°
E100.827027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780071258544922 y=0.739383697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780071258544922 × 217)
    floor (0.780071258544922 × 131072)
    floor (102245.5)     		tx = 102245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739383697509766 × 217)
    floor (0.739383697509766 × 131072)
    floor (96912.5)     		ty = 96912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102245 / 96912 ti = "17/102245/96912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102245/96912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102245 ÷ 217
    102245 ÷ 131072     		x = 0.780067443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96912 ÷ 217
    96912 ÷ 131072     		y = 0.7393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780067443847656 × 2 - 1) × π
    0.560134887695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75971565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75971565} λ = 1.75971565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50406816247888))-π/2
    2×atan(0.222224274297784)-π/2
    2×0.218670901380392-π/2
    0.437341802760785-1.57079632675     		φ = -1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75971565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.824280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102245 KachelY 96912 1.75971565 -1.13345452 100.824280 -64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 102246 KachelY 96912 1.75976359 -1.13345452 100.827027 -64.942160
    Unten links KachelX 102245 KachelY + 1 96913 1.75971565 -1.13347483 100.824280 -64.943324
    Unten rechts KachelX + 1 102246 KachelY + 1 96913 1.75976359 -1.13347483 100.827027 -64.943324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13345452--1.13347483) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13345452--1.13347483) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75971565-1.75976359) × cos(-1.13345452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 129.357867213301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75971565-1.75976359) × cos(-1.13347483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423514559809197 × 6371000     		du = 129.352247830413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13345452)-sin(-1.13347483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423514559809197)×R²
    abs(1.75976359-1.75971565)×1.83985242628859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83985242628859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83985242628859e-05×40589641000000     		ar = 16737.8989621444m²