Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102244 / 96914
↖ ↑ ↗
← S 64.944487°
E100.821533°		 ← 129.35 m → S 64.944487°
E100.824280°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
S 64.945650°
E100.821533°		 ← 129.34 m →
16 728 m²		 S 64.945650°
E100.824280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780063629150391 y=0.739398956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780063629150391 × 217)
    floor (0.780063629150391 × 131072)
    floor (102244.5)     		tx = 102244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739398956298828 × 217)
    floor (0.739398956298828 × 131072)
    floor (96914.5)     		ty = 96914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102244 / 96914 ti = "17/102244/96914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102244/96914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102244 ÷ 217
    102244 ÷ 131072     		x = 0.780059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96914 ÷ 217
    96914 ÷ 131072     		y = 0.739395141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    0.56011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75966771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739395141601562 × 2 - 1) × π
    -0.478790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50416403627812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75966771} λ = 1.75966771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50416403627812))-π/2
    2×atan(0.22220296983361)-π/2
    2×0.218650599405292-π/2
    0.437301198810584-1.57079632675     		φ = -1.13349513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75966771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13349513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.944487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102244 KachelY 96914 1.75966771 -1.13349513 100.821533 -64.944487
    Oben rechts KachelX + 1 102245 KachelY 96914 1.75971565 -1.13349513 100.824280 -64.944487
    Unten links KachelX 102244 KachelY + 1 96915 1.75966771 -1.13351543 100.821533 -64.945650
    Unten rechts KachelX + 1 102245 KachelY + 1 96915 1.75971565 -1.13351543 100.824280 -64.945650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13349513--1.13351543) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13349513--1.13351543) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75966771-1.75971565) × cos(-1.13349513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		do = 129.346631161014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75966771-1.75971565) × cos(-1.13351543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423477780354714 × 6371000     		du = 129.341014438311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13349513)-sin(-1.13351543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423496170169215-0.423477780354714)×R²
    abs(1.75971565-1.75966771)×1.83898145006967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83898145006967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83898145006967e-05×40589641000000     		ar = 16728.2047503341m²