Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102243 / 96417
↖ ↑ ↗
← S 64.360119°
E100.818786°		 ← 132.16 m → S 64.360119°
E100.821533°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
S 64.361308°
E100.818786°		 ← 132.16 m →
17 463 m²		 S 64.361308°
E100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780055999755859 y=0.735607147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780055999755859 × 217)
    floor (0.780055999755859 × 131072)
    floor (102243.5)     		tx = 102243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735607147216797 × 217)
    floor (0.735607147216797 × 131072)
    floor (96417.5)     		ty = 96417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102243 / 96417 ti = "17/102243/96417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102243/96417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102243 ÷ 217
    102243 ÷ 131072     		x = 0.780052185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96417 ÷ 217
    96417 ÷ 131072     		y = 0.735603332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780052185058594 × 2 - 1) × π
    0.560104370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75961977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735603332519531 × 2 - 1) × π
    -0.471206665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.48033939716695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75961977} λ = 1.75961977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48033939716695))-π/2
    2×atan(0.227560441906643)-π/2
    2×0.223750167390829-π/2
    0.447500334781658-1.57079632675     		φ = -1.12329599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75961977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.818786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12329599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.360119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102243 KachelY 96417 1.75961977 -1.12329599 100.818786 -64.360119
    Oben rechts KachelX + 1 102244 KachelY 96417 1.75966771 -1.12329599 100.821533 -64.360119
    Unten links KachelX 102243 KachelY + 1 96418 1.75961977 -1.12331673 100.818786 -64.361308
    Unten rechts KachelX + 1 102244 KachelY + 1 96418 1.75966771 -1.12331673 100.821533 -64.361308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12329599--1.12331673) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12329599--1.12331673) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75961977-1.75966771) × cos(-1.12329599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432713363064928 × 6371000     		do = 132.161799121908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75961977-1.75966771) × cos(-1.12331673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432694665207404 × 6371000     		du = 132.156088314937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12329599)-sin(-1.12331673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432713363064928-0.432694665207404)×R²
    abs(1.75966771-1.75961977)×1.86978575235086e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86978575235086e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86978575235086e-05×40589641000000     		ar = 17462.7612356563m²