Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102242 / 99488
↖ ↑ ↗
← S 67.776026°
E100.816040°		 ← 115.50 m → S 67.776026°
E100.818786°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.777064°
E100.816040°		 ← 115.49 m →
13 340 m²		 S 67.777064°
E100.818786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780048370361328 y=0.759037017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780048370361328 × 217)
    floor (0.780048370361328 × 131072)
    floor (102242.5)     		tx = 102242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759037017822266 × 217)
    floor (0.759037017822266 × 131072)
    floor (99488.5)     		ty = 99488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102242 / 99488 ti = "17/102242/99488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102242/99488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102242 ÷ 217
    102242 ÷ 131072     		x = 0.780044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99488 ÷ 217
    99488 ÷ 131072     		y = 0.759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780044555664062 × 2 - 1) × π
    0.560089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75957184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75957184} λ = 1.75957184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62755361590015))-π/2
    2×atan(0.196409479899325)-π/2
    2×0.193940764928947-π/2
    0.387881529857893-1.57079632675     		φ = -1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75957184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102242 KachelY 99488 1.75957184 -1.18291480 100.816040 -67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 102243 KachelY 99488 1.75961977 -1.18291480 100.818786 -67.776026
    Unten links KachelX 102242 KachelY + 1 99489 1.75957184 -1.18293293 100.816040 -67.777064
    Unten rechts KachelX + 1 102243 KachelY + 1 99489 1.75961977 -1.18293293 100.818786 -67.777064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18291480--1.18293293) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18291480--1.18293293) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75957184-1.75961977) × cos(-1.18291480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 115.496521305683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75957184-1.75961977) × cos(-1.18293293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378211385171343 × 6371000     		du = 115.491396345104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18291480)-sin(-1.18293293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378211385171343)×R²
    abs(1.75961977-1.75957184)×1.67832280223434e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67832280223434e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67832280223434e-05×40589641000000     		ar = 13340.2717720172m²