Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102242 / 96398
↖ ↑ ↗
← S 64.337529°
E100.816040°		 ← 132.24 m → S 64.337529°
E100.818786°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.338718°
E100.816040°		 ← 132.24 m →
17 490 m²		 S 64.338718°
E100.818786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780048370361328 y=0.735462188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780048370361328 × 217)
    floor (0.780048370361328 × 131072)
    floor (102242.5)     		tx = 102242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735462188720703 × 217)
    floor (0.735462188720703 × 131072)
    floor (96398.5)     		ty = 96398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102242 / 96398 ti = "17/102242/96398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102242/96398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102242 ÷ 217
    102242 ÷ 131072     		x = 0.780044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96398 ÷ 217
    96398 ÷ 131072     		y = 0.735458374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780044555664062 × 2 - 1) × π
    0.560089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75957184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735458374023438 × 2 - 1) × π
    -0.470916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47942859607417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75957184} λ = 1.75957184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47942859607417))-π/2
    2×atan(0.227767798621832)-π/2
    2×0.223947306212705-π/2
    0.447894612425409-1.57079632675     		φ = -1.12290171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75957184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12290171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.337529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102242 KachelY 96398 1.75957184 -1.12290171 100.816040 -64.337529
    Oben rechts KachelX + 1 102243 KachelY 96398 1.75961977 -1.12290171 100.818786 -64.337529
    Unten links KachelX 102242 KachelY + 1 96399 1.75957184 -1.12292247 100.816040 -64.338718
    Unten rechts KachelX + 1 102243 KachelY + 1 96399 1.75961977 -1.12292247 100.818786 -64.338718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12290171--1.12292247) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12290171--1.12292247) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75957184-1.75961977) × cos(-1.12290171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433068785283291 × 6371000     		do = 132.242763403821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75957184-1.75961977) × cos(-1.12292247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433050072938203 × 6371000     		du = 132.237049364139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12290171)-sin(-1.12292247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433068785283291-0.433050072938203)×R²
    abs(1.75961977-1.75957184)×1.8712345087768e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8712345087768e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8712345087768e-05×40589641000000     		ar = 17490.3092092253m²