Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102241 / 96917
↖ ↑ ↗
← S 64.947976°
E100.813293°		 ← 129.33 m → S 64.947976°
E100.816040°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
S 64.949139°
E100.813293°		 ← 129.32 m →
16 726 m²		 S 64.949139°
E100.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780040740966797 y=0.739421844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780040740966797 × 217)
    floor (0.780040740966797 × 131072)
    floor (102241.5)     		tx = 102241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739421844482422 × 217)
    floor (0.739421844482422 × 131072)
    floor (96917.5)     		ty = 96917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102241 / 96917 ti = "17/102241/96917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102241/96917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102241 ÷ 217
    102241 ÷ 131072     		x = 0.780036926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96917 ÷ 217
    96917 ÷ 131072     		y = 0.739418029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780036926269531 × 2 - 1) × π
    0.560073852539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75952390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739418029785156 × 2 - 1) × π
    -0.478836059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50430784697698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75952390} λ = 1.75952390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50430784697698))-π/2
    2×atan(0.222171016966867)-π/2
    2×0.218620149748582-π/2
    0.437240299497163-1.57079632675     		φ = -1.13355603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75952390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.813293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13355603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.947976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102241 KachelY 96917 1.75952390 -1.13355603 100.813293 -64.947976
    Oben rechts KachelX + 1 102242 KachelY 96917 1.75957184 -1.13355603 100.816040 -64.947976
    Unten links KachelX 102241 KachelY + 1 96918 1.75952390 -1.13357633 100.813293 -64.949139
    Unten rechts KachelX + 1 102242 KachelY + 1 96918 1.75957184 -1.13357633 100.816040 -64.949139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13355603--1.13357633) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dl = 129.331299999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13355603--1.13357633) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dr = 129.331299999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75952390-1.75957184) × cos(-1.13355603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423441000202188 × 6371000     		do = 129.329780833009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75952390-1.75957184) × cos(-1.13357633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423422609864177 × 6371000     		du = 129.324163950413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13355603)-sin(-1.13357633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423441000202188-0.423422609864177)×R²
    abs(1.75957184-1.75952390)×1.83903380105988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83903380105988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83903380105988e-05×40589641000000     		ar = 16726.0254650914m²