Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102240 / 99489
↖ ↑ ↗
← S 67.777064°
E100.810547°		 ← 115.52 m → S 67.777064°
E100.813293°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.778103°
E100.810547°		 ← 115.51 m →
13 342 m²		 S 67.778103°
E100.813293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780033111572266 y=0.759044647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780033111572266 × 217)
    floor (0.780033111572266 × 131072)
    floor (102240.5)     		tx = 102240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759044647216797 × 217)
    floor (0.759044647216797 × 131072)
    floor (99489.5)     		ty = 99489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102240 / 99489 ti = "17/102240/99489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102240/99489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102240 ÷ 217
    102240 ÷ 131072     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99489 ÷ 217
    99489 ÷ 131072     		y = 0.759040832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759040832519531 × 2 - 1) × π
    -0.518081665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62760155279977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62760155279977))-π/2
    2×atan(0.196400064863469)-π/2
    2×0.193931699587151-π/2
    0.387863399174301-1.57079632675     		φ = -1.18293293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18293293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.777064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102240 KachelY 99489 1.75947596 -1.18293293 100.810547 -67.777064
    Oben rechts KachelX + 1 102241 KachelY 99489 1.75952390 -1.18293293 100.813293 -67.777064
    Unten links KachelX 102240 KachelY + 1 99490 1.75947596 -1.18295106 100.810547 -67.778103
    Unten rechts KachelX + 1 102241 KachelY + 1 99490 1.75952390 -1.18295106 100.813293 -67.778103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18293293--1.18295106) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18293293--1.18295106) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.18293293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378211385171343 × 6371000     		do = 115.515492192307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.18295106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378194601819004 × 6371000     		du = 115.510366124499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18293293)-sin(-1.18295106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378211385171343-0.378194601819004)×R²
    abs(1.75952390-1.75947596)×1.67833523392336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67833523392336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67833523392336e-05×40589641000000     		ar = 13342.462963677m²