Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102240 / 98978
↖ ↑ ↗
← S 67.240187°
E100.810547°		 ← 118.16 m → S 67.240187°
E100.813293°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.241249°
E100.810547°		 ← 118.15 m →
13 957 m²		 S 67.241249°
E100.813293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780033111572266 y=0.755146026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780033111572266 × 217)
    floor (0.780033111572266 × 131072)
    floor (102240.5)     		tx = 102240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755146026611328 × 217)
    floor (0.755146026611328 × 131072)
    floor (98978.5)     		ty = 98978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102240 / 98978 ti = "17/102240/98978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102240/98978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102240 ÷ 217
    102240 ÷ 131072     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98978 ÷ 217
    98978 ÷ 131072     		y = 0.755142211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755142211914062 × 2 - 1) × π
    -0.510284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60310579709392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60310579709392))-π/2
    2×atan(0.201270441112935)-π/2
    2×0.198616838858239-π/2
    0.397233677716478-1.57079632675     		φ = -1.17356265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17356265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.240187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102240 KachelY 98978 1.75947596 -1.17356265 100.810547 -67.240187
    Oben rechts KachelX + 1 102241 KachelY 98978 1.75952390 -1.17356265 100.813293 -67.240187
    Unten links KachelX 102240 KachelY + 1 98979 1.75947596 -1.17358119 100.810547 -67.241249
    Unten rechts KachelX + 1 102241 KachelY + 1 98979 1.75952390 -1.17358119 100.813293 -67.241249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17356265--1.17358119) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17356265--1.17358119) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.17356265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386868903137779 × 6371000     		do = 118.159721023767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.17358119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386851806693482 × 6371000     		du = 118.154499329616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17356265)-sin(-1.17358119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386868903137779-0.386851806693482)×R²
    abs(1.75952390-1.75947596)×1.70964442973154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70964442973154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70964442973154e-05×40589641000000     		ar = 13956.5217134861m²