Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102240 / 96402
↖ ↑ ↗
← S 64.342287°
E100.810547°		 ← 132.25 m → S 64.342287°
E100.813293°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.343476°
E100.810547°		 ← 132.24 m →
17 483 m²		 S 64.343476°
E100.813293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780033111572266 y=0.735492706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780033111572266 × 217)
    floor (0.780033111572266 × 131072)
    floor (102240.5)     		tx = 102240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735492706298828 × 217)
    floor (0.735492706298828 × 131072)
    floor (96402.5)     		ty = 96402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102240 / 96402 ti = "17/102240/96402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102240/96402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102240 ÷ 217
    102240 ÷ 131072     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96402 ÷ 217
    96402 ÷ 131072     		y = 0.735488891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735488891601562 × 2 - 1) × π
    -0.470977783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47962034367265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47962034367265))-π/2
    2×atan(0.227724128880353)-π/2
    2×0.223905789851171-π/2
    0.447811579702342-1.57079632675     		φ = -1.12298475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12298475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.342287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102240 KachelY 96402 1.75947596 -1.12298475 100.810547 -64.342287
    Oben rechts KachelX + 1 102241 KachelY 96402 1.75952390 -1.12298475 100.813293 -64.342287
    Unten links KachelX 102240 KachelY + 1 96403 1.75947596 -1.12300550 100.810547 -64.343476
    Unten rechts KachelX + 1 102241 KachelY + 1 96403 1.75952390 -1.12300550 100.813293 -64.343476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12298475--1.12300550) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12298475--1.12300550) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.12298475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432993934783163 × 6371000     		do = 132.247492946572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75952390) × cos(-1.12300550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432975230705642 × 6371000     		du = 132.241780239855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12298475)-sin(-1.12300550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432993934783163-0.432975230705642)×R²
    abs(1.75952390-1.75947596)×1.87040775207481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87040775207481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87040775207481e-05×40589641000000     		ar = 17482.5095302754m²