Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10224 / 38896
↖ ↑ ↗
← S 31.877558°
W123.837891°		 ← 518.67 m → S 31.877558°
W123.832398°		 →
↑
518.66 m
↓
↑
518.66 m
↓
S 31.882222°
W123.837891°		 ← 518.64 m →
269 007 m²		 S 31.882222°
W123.832398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156013488769531 y=0.593513488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156013488769531 × 216)
    floor (0.156013488769531 × 65536)
    floor (10224.5)     		tx = 10224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593513488769531 × 216)
    floor (0.593513488769531 × 65536)
    floor (38896.5)     		ty = 38896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10224 / 38896 ti = "16/10224/38896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10224/38896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10224 ÷ 216
    10224 ÷ 65536     		x = 0.156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38896 ÷ 216
    38896 ÷ 65536     		y = 0.593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.68798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16137893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.587514641743408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16137893} λ = -2.16137893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587514641743408))-π/2
    2×atan(0.555706700089092)-π/2
    2×0.507213994219294-π/2
    1.01442798843859-1.57079632675     		φ = -0.55636834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16137893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.837891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55636834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.877558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10224 KachelY 38896 -2.16137893 -0.55636834 -123.837891 -31.877558
    Oben rechts KachelX + 1 10225 KachelY 38896 -2.16128306 -0.55636834 -123.832398 -31.877558
    Unten links KachelX 10224 KachelY + 1 38897 -2.16137893 -0.55644975 -123.837891 -31.882222
    Unten rechts KachelX + 1 10225 KachelY + 1 38897 -2.16128306 -0.55644975 -123.832398 -31.882222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55636834--0.55644975) × R
    8.14099999999485e-05 × 6371000     		dl = 518.663109999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55636834--0.55644975) × R
    8.14099999999485e-05 × 6371000     		dr = 518.663109999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16137893--2.16128306) × cos(-0.55636834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849178607242166 × 6371000     		do = 518.667907849137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16137893--2.16128306) × cos(-0.55644975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849135611338346 × 6371000     		du = 518.641646476924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55636834)-sin(-0.55644975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849178607242166-0.849135611338346)×R²
    abs(-2.16128306--2.16137893)×4.29959038198424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29959038198424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29959038198424e-05×40589641000000     		ar = 269007.09988786m²