Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10224 / 14286
↖ ↑ ↗
← N 70.703582°
W123.837891°		 ← 201.84 m → N 70.703582°
W123.832398°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 70.701767°
W123.837891°		 ← 201.86 m →
40 739 m²		 N 70.701767°
W123.832398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156013488769531 y=0.217994689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156013488769531 × 216)
    floor (0.156013488769531 × 65536)
    floor (10224.5)     		tx = 10224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217994689941406 × 216)
    floor (0.217994689941406 × 65536)
    floor (14286.5)     		ty = 14286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10224 / 14286 ti = "16/10224/14286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10224/14286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10224 ÷ 216
    10224 ÷ 65536     		x = 0.156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14286 ÷ 216
    14286 ÷ 65536     		y = 0.217987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.68798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16137893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217987060546875 × 2 - 1) × π
    0.56402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77193955755576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16137893} λ = -2.16137893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77193955755576))-π/2
    2×atan(5.88225126925444)-π/2
    2×1.40240331381307-π/2
    2.80480662762614-1.57079632675     		φ = 1.23401030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16137893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.837891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23401030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.703582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10224 KachelY 14286 -2.16137893 1.23401030 -123.837891 70.703582
    Oben rechts KachelX + 1 10225 KachelY 14286 -2.16128306 1.23401030 -123.832398 70.703582
    Unten links KachelX 10224 KachelY + 1 14287 -2.16137893 1.23397862 -123.837891 70.701767
    Unten rechts KachelX + 1 10225 KachelY + 1 14287 -2.16128306 1.23397862 -123.832398 70.701767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23401030-1.23397862) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23401030-1.23397862) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16137893--2.16128306) × cos(1.23401030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330455386726644 × 6371000     		do = 201.83810874325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16137893--2.16128306) × cos(1.23397862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330485286829516 × 6371000     		du = 201.856371360406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23401030)-sin(1.23397862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330455386726644-0.330485286829516)×R²
    abs(-2.16128306--2.16137893)×2.99001028722934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99001028722934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99001028722934e-05×40589641000000     		ar = 40739.4905221662m²