Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102235 / 98969
↖ ↑ ↗
← S 67.230622°
E100.796814°		 ← 118.21 m → S 67.230622°
E100.799561°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
S 67.231685°
E100.796814°		 ← 118.20 m →
13 970 m²		 S 67.231685°
E100.799561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779994964599609 y=0.755077362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779994964599609 × 217)
    floor (0.779994964599609 × 131072)
    floor (102235.5)     		tx = 102235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755077362060547 × 217)
    floor (0.755077362060547 × 131072)
    floor (98969.5)     		ty = 98969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102235 / 98969 ti = "17/102235/98969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102235/98969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102235 ÷ 217
    102235 ÷ 131072     		x = 0.779991149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98969 ÷ 217
    98969 ÷ 131072     		y = 0.755073547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779991149902344 × 2 - 1) × π
    0.559982299804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75923628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755073547363281 × 2 - 1) × π
    -0.510147094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.60267436499734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75923628} λ = 1.75923628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60267436499734))-π/2
    2×atan(0.20135729437562)-π/2
    2×0.198700309291802-π/2
    0.397400618583603-1.57079632675     		φ = -1.17339571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75923628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.796814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17339571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.230622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102235 KachelY 98969 1.75923628 -1.17339571 100.796814 -67.230622
    Oben rechts KachelX + 1 102236 KachelY 98969 1.75928422 -1.17339571 100.799561 -67.230622
    Unten links KachelX 102235 KachelY + 1 98970 1.75923628 -1.17341426 100.796814 -67.231685
    Unten rechts KachelX + 1 102236 KachelY + 1 98970 1.75928422 -1.17341426 100.799561 -67.231685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17339571--1.17341426) × R
    1.85499999998395e-05 × 6371000     		dl = 118.182049998978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17339571--1.17341426) × R
    1.85499999998395e-05 × 6371000     		dr = 118.182049998978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75923628-1.75928422) × cos(-1.17339571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387022838917304 × 6371000     		do = 118.206736973141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75923628-1.75928422) × cos(-1.17341426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387005734449831 × 6371000     		du = 118.201512828506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17339571)-sin(-1.17341426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387022838917304-0.387005734449831)×R²
    abs(1.75928422-1.75923628)×1.71044674731613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71044674731613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71044674731613e-05×40589641000000     		ar = 13969.6057995268m²