Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102234 / 99516
↖ ↑ ↗
← S 67.805095°
E100.794067°		 ← 115.38 m → S 67.805095°
E100.796814°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.806132°
E100.794067°		 ← 115.37 m →
13 312 m²		 S 67.806132°
E100.796814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779987335205078 y=0.759250640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779987335205078 × 217)
    floor (0.779987335205078 × 131072)
    floor (102234.5)     		tx = 102234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759250640869141 × 217)
    floor (0.759250640869141 × 131072)
    floor (99516.5)     		ty = 99516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102234 / 99516 ti = "17/102234/99516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102234/99516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102234 ÷ 217
    102234 ÷ 131072     		x = 0.779983520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99516 ÷ 217
    99516 ÷ 131072     		y = 0.759246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779983520507812 × 2 - 1) × π
    0.559967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75918834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.51849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62889584908951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75918834} λ = 1.75918834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62889584908951))-π/2
    2×atan(0.196146029422239)-π/2
    2×0.193687087370148-π/2
    0.387374174740296-1.57079632675     		φ = -1.18342215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75918834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.794067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18342215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.805095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102234 KachelY 99516 1.75918834 -1.18342215 100.794067 -67.805095
    Oben rechts KachelX + 1 102235 KachelY 99516 1.75923628 -1.18342215 100.796814 -67.805095
    Unten links KachelX 102234 KachelY + 1 99517 1.75918834 -1.18344026 100.794067 -67.806132
    Unten rechts KachelX + 1 102235 KachelY + 1 99517 1.75923628 -1.18344026 100.796814 -67.806132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18342215--1.18344026) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18342215--1.18344026) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75918834-1.75923628) × cos(-1.18342215) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377758459553248 × 6371000     		do = 115.377157050769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75918834-1.75923628) × cos(-1.18344026) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377741691366644 × 6371000     		du = 115.372035614967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18342215)-sin(-1.18344026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377758459553248-0.377741691366644)×R²
    abs(1.75923628-1.75918834)×1.67681866039548e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67681866039548e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67681866039548e-05×40589641000000     		ar = 13311.7836296138m²