Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102234 / 97028
↖ ↑ ↗
← S 65.076760°
E100.794067°		 ← 128.71 m → S 65.076760°
E100.796814°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.077917°
E100.794067°		 ← 128.70 m →
16 564 m²		 S 65.077917°
E100.796814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779987335205078 y=0.740268707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779987335205078 × 217)
    floor (0.779987335205078 × 131072)
    floor (102234.5)     		tx = 102234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740268707275391 × 217)
    floor (0.740268707275391 × 131072)
    floor (97028.5)     		ty = 97028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102234 / 97028 ti = "17/102234/97028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102234/97028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102234 ÷ 217
    102234 ÷ 131072     		x = 0.779983520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97028 ÷ 217
    97028 ÷ 131072     		y = 0.740264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779983520507812 × 2 - 1) × π
    0.559967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75918834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.48052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50962884283481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75918834} λ = 1.75918834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50962884283481))-π/2
    2×atan(0.220991985498462)-π/2
    2×0.21749629768128-π/2
    0.434992595362559-1.57079632675     		φ = -1.13580373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75918834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.794067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13580373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.076760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102234 KachelY 97028 1.75918834 -1.13580373 100.794067 -65.076760
    Oben rechts KachelX + 1 102235 KachelY 97028 1.75923628 -1.13580373 100.796814 -65.076760
    Unten links KachelX 102234 KachelY + 1 97029 1.75918834 -1.13582393 100.794067 -65.077917
    Unten rechts KachelX + 1 102235 KachelY + 1 97029 1.75923628 -1.13582393 100.796814 -65.077917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13580373--1.13582393) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13580373--1.13582393) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75918834-1.75923628) × cos(-1.13580373) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421403687610175 × 6371000     		do = 128.707533127578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75918834-1.75923628) × cos(-1.13582393) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421385368686328 × 6371000     		du = 128.701938056706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13580373)-sin(-1.13582393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421403687610175-0.421385368686328)×R²
    abs(1.75923628-1.75918834)×1.83189238471826e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83189238471826e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83189238471826e-05×40589641000000     		ar = 16563.5529837273m²