Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102233 / 97034
↖ ↑ ↗
← S 65.083704°
E100.791321°		 ← 128.65 m → S 65.083704°
E100.794067°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.084861°
E100.791321°		 ← 128.64 m →
16 556 m²		 S 65.084861°
E100.794067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779979705810547 y=0.740314483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779979705810547 × 217)
    floor (0.779979705810547 × 131072)
    floor (102233.5)     		tx = 102233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740314483642578 × 217)
    floor (0.740314483642578 × 131072)
    floor (97034.5)     		ty = 97034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102233 / 97034 ti = "17/102233/97034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102233/97034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102233 ÷ 217
    102233 ÷ 131072     		x = 0.779975891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97034 ÷ 217
    97034 ÷ 131072     		y = 0.740310668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779975891113281 × 2 - 1) × π
    0.559951782226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75914041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740310668945312 × 2 - 1) × π
    -0.480621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50991646423253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75914041} λ = 1.75914041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50991646423253))-π/2
    2×atan(0.22092843261473)-π/2
    2×0.217435703225752-π/2
    0.434871406451505-1.57079632675     		φ = -1.13592492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75914041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.791321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13592492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.083704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102233 KachelY 97034 1.75914041 -1.13592492 100.791321 -65.083704
    Oben rechts KachelX + 1 102234 KachelY 97034 1.75918834 -1.13592492 100.794067 -65.083704
    Unten links KachelX 102233 KachelY + 1 97035 1.75914041 -1.13594512 100.791321 -65.084861
    Unten rechts KachelX + 1 102234 KachelY + 1 97035 1.75918834 -1.13594512 100.794067 -65.084861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13592492--1.13594512) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13592492--1.13594512) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75914041-1.75918834) × cos(-1.13592492) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.421293780557352 × 6371000     		do = 128.64712405685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75914041-1.75918834) × cos(-1.13594512) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.42127546060205 × 6371000     		du = 128.64152983811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13592492)-sin(-1.13594512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421293780557352-0.42127546060205)×R²
    abs(1.75918834-1.75914041)×1.83199553025482e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83199553025482e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83199553025482e-05×40589641000000     		ar = 16555.7787415864m²