Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102231 / 96910
↖ ↑ ↗
← S 64.939834°
E100.785828°		 ← 129.37 m → S 64.939834°
E100.788574°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
S 64.940997°
E100.785828°		 ← 129.36 m →
16 731 m²		 S 64.940997°
E100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779964447021484 y=0.739368438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779964447021484 × 217)
    floor (0.779964447021484 × 131072)
    floor (102231.5)     		tx = 102231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739368438720703 × 217)
    floor (0.739368438720703 × 131072)
    floor (96910.5)     		ty = 96910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102231 / 96910 ti = "17/102231/96910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102231/96910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102231 ÷ 217
    102231 ÷ 131072     		x = 0.779960632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96910 ÷ 217
    96910 ÷ 131072     		y = 0.739364624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779960632324219 × 2 - 1) × π
    0.559921264648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75904453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.478729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50397228867964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75904453} λ = 1.75904453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50397228867964))-π/2
    2×atan(0.222245580804596)-π/2
    2×0.2186912051188-π/2
    0.437382410237601-1.57079632675     		φ = -1.13341392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75904453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.785828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13341392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.939834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102231 KachelY 96910 1.75904453 -1.13341392 100.785828 -64.939834
    Oben rechts KachelX + 1 102232 KachelY 96910 1.75909247 -1.13341392 100.788574 -64.939834
    Unten links KachelX 102231 KachelY + 1 96911 1.75904453 -1.13343422 100.785828 -64.940997
    Unten rechts KachelX + 1 102232 KachelY + 1 96911 1.75909247 -1.13343422 100.788574 -64.940997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13341392--1.13343422) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13341392--1.13343422) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75904453-1.75909247) × cos(-1.13341392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423569736740591 × 6371000     		do = 129.369100285515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75904453-1.75909247) × cos(-1.13343422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423551347624296 × 6371000     		du = 129.363483776063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13341392)-sin(-1.13343422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423569736740591-0.423551347624296)×R²
    abs(1.75909247-1.75904453)×1.83891162950922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83891162950922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83891162950922e-05×40589641000000     		ar = 16731.110725249m²