Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102230 / 96984
↖ ↑ ↗
← S 65.025785°
E100.783081°		 ← 128.95 m → S 65.025785°
E100.785828°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.026945°
E100.783081°		 ← 128.95 m →
16 628 m²		 S 65.026945°
E100.785828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779956817626953 y=0.739933013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779956817626953 × 217)
    floor (0.779956817626953 × 131072)
    floor (102230.5)     		tx = 102230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739933013916016 × 217)
    floor (0.739933013916016 × 131072)
    floor (96984.5)     		ty = 96984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102230 / 96984 ti = "17/102230/96984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102230/96984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102230 ÷ 217
    102230 ÷ 131072     		x = 0.779953002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96984 ÷ 217
    96984 ÷ 131072     		y = 0.73992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779953002929688 × 2 - 1) × π
    0.559906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75899659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.4798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50751961925153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75899659} λ = 1.75899659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50751961925153))-π/2
    2×atan(0.221458598929027)-π/2
    2×0.217941140230699-π/2
    0.435882280461398-1.57079632675     		φ = -1.13491405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75899659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.783081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13491405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.025785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102230 KachelY 96984 1.75899659 -1.13491405 100.783081 -65.025785
    Oben rechts KachelX + 1 102231 KachelY 96984 1.75904453 -1.13491405 100.785828 -65.025785
    Unten links KachelX 102230 KachelY + 1 96985 1.75899659 -1.13493429 100.783081 -65.026945
    Unten rechts KachelX + 1 102231 KachelY + 1 96985 1.75904453 -1.13493429 100.785828 -65.026945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13491405--1.13493429) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13491405--1.13493429) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75899659-1.75904453) × cos(-1.13491405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422210347641635 × 6371000     		do = 128.953907864019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75899659-1.75904453) × cos(-1.13493429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422192000037887 × 6371000     		du = 128.948304033567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13491405)-sin(-1.13493429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422210347641635-0.422192000037887)×R²
    abs(1.75904453-1.75899659)×1.83476037482477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83476037482477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83476037482477e-05×40589641000000     		ar = 16628.1213195079m²