Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10223 / 2174
↖ ↑ ↗
← N 78.638666°
E 44.626465°		 ← 481.30 m → N 78.638666°
E 44.648437°		 →
↑
481.39 m
↓
↑
481.39 m
↓
N 78.634337°
E 44.626465°		 ← 481.48 m →
231 739 m²		 N 78.634337°
E 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623992919921875 y=0.132720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623992919921875 × 214)
    floor (0.623992919921875 × 16384)
    floor (10223.5)     		tx = 10223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132720947265625 × 214)
    floor (0.132720947265625 × 16384)
    floor (2174.5)     		ty = 2174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10223 / 2174 ti = "14/10223/2174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10223/2174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10223 ÷ 214
    10223 ÷ 16384     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2174 ÷ 214
    2174 ÷ 16384     		y = 0.1326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1326904296875 × 2 - 1) × π
    0.734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30787409530798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30787409530798))-π/2
    2×atan(10.0530301377801)-π/2
    2×1.47164998274011-π/2
    2.94329996548023-1.57079632675     		φ = 1.37250364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37250364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.638666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10223 KachelY 2174 0.77887875 1.37250364 44.626465 78.638666
    Oben rechts KachelX + 1 10224 KachelY 2174 0.77926224 1.37250364 44.648437 78.638666
    Unten links KachelX 10223 KachelY + 1 2175 0.77887875 1.37242808 44.626465 78.634337
    Unten rechts KachelX + 1 10224 KachelY + 1 2175 0.77926224 1.37242808 44.648437 78.634337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37250364-1.37242808) × R
    7.55599999999745e-05 × 6371000     		dl = 481.392759999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37250364-1.37242808) × R
    7.55599999999745e-05 × 6371000     		dr = 481.392759999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77926224) × cos(1.37250364) × R
    0.000383490000000042 × 0.196995761445373 × 6371000     		do = 481.302957930701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77926224) × cos(1.37242808) × R
    0.000383490000000042 × 0.197069840234881 × 6371000     		du = 481.483948324851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37250364)-sin(1.37242808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196995761445373-0.197069840234881)×R²
    abs(0.77926224-0.77887875)×7.40787895077422e-05×R²
    0.000383490000000042×7.40787895077422e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.40787895077422e-05×40589641000000     		ar = 231739.323156397m²