Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102229 / 96991
↖ ↑ ↗
← S 65.033901°
E100.780335°		 ← 128.89 m → S 65.033901°
E100.783081°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.035060°
E100.780335°		 ← 128.88 m →
16 611 m²		 S 65.035060°
E100.783081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779949188232422 y=0.739986419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779949188232422 × 217)
    floor (0.779949188232422 × 131072)
    floor (102229.5)     		tx = 102229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739986419677734 × 217)
    floor (0.739986419677734 × 131072)
    floor (96991.5)     		ty = 96991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102229 / 96991 ti = "17/102229/96991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102229/96991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102229 ÷ 217
    102229 ÷ 131072     		x = 0.779945373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96991 ÷ 217
    96991 ÷ 131072     		y = 0.739982604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779945373535156 × 2 - 1) × π
    0.559890747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75894866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739982604980469 × 2 - 1) × π
    -0.479965209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.50785517754887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75894866} λ = 1.75894866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50785517754887))-π/2
    2×atan(0.221384299125294)-π/2
    2×0.217870312910467-π/2
    0.435740625820933-1.57079632675     		φ = -1.13505570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75894866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.780335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13505570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.033901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102229 KachelY 96991 1.75894866 -1.13505570 100.780335 -65.033901
    Oben rechts KachelX + 1 102230 KachelY 96991 1.75899659 -1.13505570 100.783081 -65.033901
    Unten links KachelX 102229 KachelY + 1 96992 1.75894866 -1.13507593 100.780335 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 102230 KachelY + 1 96992 1.75899659 -1.13507593 100.783081 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13505570--1.13507593) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13505570--1.13507593) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75894866-1.75899659) × cos(-1.13505570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422081937980353 × 6371000     		do = 128.887797408094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75894866-1.75899659) × cos(-1.13507593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 128.882197145307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13505570)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422081937980353-0.422063598232002)×R²
    abs(1.75899659-1.75894866)×1.83397483511372e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83397483511372e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83397483511372e-05×40589641000000     		ar = 16611.3854065351m²