Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102229 / 96714
↖ ↑ ↗
← S 64.710841°
E100.780335°		 ← 130.45 m → S 64.710841°
E100.783081°		 →
↑
130.48 m
↓
↑
130.48 m
↓
S 64.712015°
E100.780335°		 ← 130.44 m →
17 020 m²		 S 64.712015°
E100.783081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779949188232422 y=0.737873077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779949188232422 × 217)
    floor (0.779949188232422 × 131072)
    floor (102229.5)     		tx = 102229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737873077392578 × 217)
    floor (0.737873077392578 × 131072)
    floor (96714.5)     		ty = 96714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102229 / 96714 ti = "17/102229/96714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102229/96714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102229 ÷ 217
    102229 ÷ 131072     		x = 0.779945373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96714 ÷ 217
    96714 ÷ 131072     		y = 0.737869262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779945373535156 × 2 - 1) × π
    0.559890747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75894866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737869262695312 × 2 - 1) × π
    -0.475738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49457665635411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75894866} λ = 1.75894866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49457665635411))-π/2
    2×atan(0.224343559050183)-π/2
    2×0.220689544633315-π/2
    0.44137908926663-1.57079632675     		φ = -1.12941724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75894866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.780335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12941724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.710841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102229 KachelY 96714 1.75894866 -1.12941724 100.780335 -64.710841
    Oben rechts KachelX + 1 102230 KachelY 96714 1.75899659 -1.12941724 100.783081 -64.710841
    Unten links KachelX 102229 KachelY + 1 96715 1.75894866 -1.12943772 100.780335 -64.712015
    Unten rechts KachelX + 1 102230 KachelY + 1 96715 1.75899659 -1.12943772 100.783081 -64.712015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12941724--1.12943772) × R
    2.04800000001004e-05 × 6371000     		dl = 130.47808000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12941724--1.12943772) × R
    2.04800000001004e-05 × 6371000     		dr = 130.47808000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75894866-1.75899659) × cos(-1.12941724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427186790699008 × 6371000     		do = 130.446625597114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75894866-1.75899659) × cos(-1.12943772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427168273343081 × 6371000     		du = 130.440971099718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12941724)-sin(-1.12943772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427186790699008-0.427168273343081)×R²
    abs(1.75899659-1.75894866)×1.85173559272278e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85173559272278e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85173559272278e-05×40589641000000     		ar = 17020.0563572053m²