Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102228 / 96715
↖ ↑ ↗
← S 64.712015°
E100.777588°		 ← 130.47 m → S 64.712015°
E100.780335°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.713187°
E100.777588°		 ← 130.46 m →
17 015 m²		 S 64.713187°
E100.780335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779941558837891 y=0.737880706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779941558837891 × 217)
    floor (0.779941558837891 × 131072)
    floor (102228.5)     		tx = 102228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737880706787109 × 217)
    floor (0.737880706787109 × 131072)
    floor (96715.5)     		ty = 96715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102228 / 96715 ti = "17/102228/96715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102228/96715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102228 ÷ 217
    102228 ÷ 131072     		x = 0.779937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96715 ÷ 217
    96715 ÷ 131072     		y = 0.737876892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    0.55987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75890072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737876892089844 × 2 - 1) × π
    -0.475753784179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.49462459325373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75890072} λ = 1.75890072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49462459325373))-π/2
    2×atan(0.224332804973273)-π/2
    2×0.22067930585-π/2
    0.4413586117-1.57079632675     		φ = -1.12943772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75890072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.777588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12943772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.712015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102228 KachelY 96715 1.75890072 -1.12943772 100.777588 -64.712015
    Oben rechts KachelX + 1 102229 KachelY 96715 1.75894866 -1.12943772 100.780335 -64.712015
    Unten links KachelX 102228 KachelY + 1 96716 1.75890072 -1.12945819 100.777588 -64.713187
    Unten rechts KachelX + 1 102229 KachelY + 1 96716 1.75894866 -1.12945819 100.780335 -64.713187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12943772--1.12945819) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12943772--1.12945819) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75890072-1.75894866) × cos(-1.12943772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427168273343081 × 6371000     		do = 130.468185990247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75890072-1.75894866) × cos(-1.12945819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427149764849795 × 6371000     		du = 130.462533019989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12943772)-sin(-1.12945819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427168273343081-0.427149764849795)×R²
    abs(1.75894866-1.75890072)×1.85084932855517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85084932855517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85084932855517e-05×40589641000000     		ar = 17014.5576672228m²