Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102221 / 96740
↖ ↑ ↗
← S 64.741330°
E100.758362°		 ← 130.33 m → S 64.741330°
E100.761108°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
S 64.742502°
E100.758362°		 ← 130.32 m →
16 980 m²		 S 64.742502°
E100.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779888153076172 y=0.738071441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779888153076172 × 217)
    floor (0.779888153076172 × 131072)
    floor (102221.5)     		tx = 102221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738071441650391 × 217)
    floor (0.738071441650391 × 131072)
    floor (96740.5)     		ty = 96740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102221 / 96740 ti = "17/102221/96740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102221/96740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102221 ÷ 217
    102221 ÷ 131072     		x = 0.779884338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96740 ÷ 217
    96740 ÷ 131072     		y = 0.738067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779884338378906 × 2 - 1) × π
    0.559768676757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.75856516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.47613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49582301574423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75856516} λ = 1.75856516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49582301574423))-π/2
    2×atan(0.224064120525336)-π/2
    2×0.220423480454214-π/2
    0.440846960908428-1.57079632675     		φ = -1.12994937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75856516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.758362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12994937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.741330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102221 KachelY 96740 1.75856516 -1.12994937 100.758362 -64.741330
    Oben rechts KachelX + 1 102222 KachelY 96740 1.75861310 -1.12994937 100.761108 -64.741330
    Unten links KachelX 102221 KachelY + 1 96741 1.75856516 -1.12996982 100.758362 -64.742502
    Unten rechts KachelX + 1 102222 KachelY + 1 96741 1.75861310 -1.12996982 100.761108 -64.742502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12994937--1.12996982) × R
    2.04499999998387e-05 × 6371000     		dl = 130.286949998972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12994937--1.12996982) × R
    2.04499999998387e-05 × 6371000     		dr = 130.286949998972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75856516-1.75861310) × cos(-1.12994937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426705597772437 × 6371000     		do = 130.326872961703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75856516-1.75861310) × cos(-1.12996982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426687102895721 × 6371000     		du = 130.321224150296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12994937)-sin(-1.12996982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426705597772437-0.426687102895721)×R²
    abs(1.75861310-1.75856516)×1.84948767157911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84948767157911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84948767157911e-05×40589641000000     		ar = 16979.5227985479m²