Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102219 / 99395
↖ ↑ ↗
← S 67.679214°
E100.752869°		 ← 116 m → S 67.679214°
E100.755615°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.680257°
E100.752869°		 ← 115.99 m →
13 457 m²		 S 67.680257°
E100.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779872894287109 y=0.758327484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779872894287109 × 217)
    floor (0.779872894287109 × 131072)
    floor (102219.5)     		tx = 102219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758327484130859 × 217)
    floor (0.758327484130859 × 131072)
    floor (99395.5)     		ty = 99395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102219 / 99395 ti = "17/102219/99395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102219/99395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102219 ÷ 217
    102219 ÷ 131072     		x = 0.779869079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99395 ÷ 217
    99395 ÷ 131072     		y = 0.758323669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779869079589844 × 2 - 1) × π
    0.559738159179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75846929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758323669433594 × 2 - 1) × π
    -0.516647338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.62309548423548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75846929} λ = 1.75846929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62309548423548))-π/2
    2×atan(0.197287053937732)-π/2
    2×0.194785602121913-π/2
    0.389571204243827-1.57079632675     		φ = -1.18122512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75846929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.752869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18122512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.679214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102219 KachelY 99395 1.75846929 -1.18122512 100.752869 -67.679214
    Oben rechts KachelX + 1 102220 KachelY 99395 1.75851723 -1.18122512 100.755615 -67.679214
    Unten links KachelX 102219 KachelY + 1 99396 1.75846929 -1.18124333 100.752869 -67.680257
    Unten rechts KachelX + 1 102220 KachelY + 1 99396 1.75851723 -1.18124333 100.755615 -67.680257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18122512--1.18124333) × R
    1.82100000001295e-05 × 6371000     		dl = 116.015910000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18122512--1.18124333) × R
    1.82100000001295e-05 × 6371000     		dr = 116.015910000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75846929-1.75851723) × cos(-1.18122512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379791785463702 × 6371000     		do = 115.998187121096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75846929-1.75851723) × cos(-1.18124333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379774939839667 × 6371000     		du = 115.99304203391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18122512)-sin(-1.18124333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379791785463702-0.379774939839667)×R²
    abs(1.75851723-1.75846929)×1.6845624035422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6845624035422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6845624035422e-05×40589641000000     		ar = 13457.3367816233m²