Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102218 / 98534
↖ ↑ ↗
← S 66.763752°
E100.750122°		 ← 120.50 m → S 66.763752°
E100.752869°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.764836°
E100.750122°		 ← 120.49 m →
14 517 m²		 S 66.764836°
E100.752869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779865264892578 y=0.751758575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779865264892578 × 217)
    floor (0.779865264892578 × 131072)
    floor (102218.5)     		tx = 102218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751758575439453 × 217)
    floor (0.751758575439453 × 131072)
    floor (98534.5)     		ty = 98534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102218 / 98534 ti = "17/102218/98534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102218/98534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102218 ÷ 217
    102218 ÷ 131072     		x = 0.779861450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98534 ÷ 217
    98534 ÷ 131072     		y = 0.751754760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779861450195312 × 2 - 1) × π
    0.559722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75842135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751754760742188 × 2 - 1) × π
    -0.503509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58182181366261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75842135} λ = 1.75842135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58182181366261))-π/2
    2×atan(0.205600191565528)-π/2
    2×0.202774514580303-π/2
    0.405549029160606-1.57079632675     		φ = -1.16524730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75842135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16524730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.763752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102218 KachelY 98534 1.75842135 -1.16524730 100.750122 -66.763752
    Oben rechts KachelX + 1 102219 KachelY 98534 1.75846929 -1.16524730 100.752869 -66.763752
    Unten links KachelX 102218 KachelY + 1 98535 1.75842135 -1.16526621 100.750122 -66.764836
    Unten rechts KachelX + 1 102219 KachelY + 1 98535 1.75846929 -1.16526621 100.752869 -66.764836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16524730--1.16526621) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16524730--1.16526621) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75842135-1.75846929) × cos(-1.16524730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394523312804108 × 6371000     		do = 120.497574760367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75842135-1.75846929) × cos(-1.16526621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394505936600601 × 6371000     		du = 120.492267620553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16524730)-sin(-1.16526621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394523312804108-0.394505936600601)×R²
    abs(1.75846929-1.75842135)×1.7376203507502e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7376203507502e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7376203507502e-05×40589641000000     		ar = 14516.6991326592m²