Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102218 / 96381
↖ ↑ ↗
← S 64.317301°
E100.750122°		 ← 132.37 m → S 64.317301°
E100.752869°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
S 64.318491°
E100.750122°		 ← 132.36 m →
17 515 m²		 S 64.318491°
E100.752869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779865264892578 y=0.735332489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779865264892578 × 217)
    floor (0.779865264892578 × 131072)
    floor (102218.5)     		tx = 102218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735332489013672 × 217)
    floor (0.735332489013672 × 131072)
    floor (96381.5)     		ty = 96381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102218 / 96381 ti = "17/102218/96381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102218/96381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102218 ÷ 217
    102218 ÷ 131072     		x = 0.779861450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96381 ÷ 217
    96381 ÷ 131072     		y = 0.735328674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779861450195312 × 2 - 1) × π
    0.559722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75842135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735328674316406 × 2 - 1) × π
    -0.470657348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47861366878063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75842135} λ = 1.75842135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47861366878063))-π/2
    2×atan(0.227953488469104)-π/2
    2×0.22412383081856-π/2
    0.44824766163712-1.57079632675     		φ = -1.12254867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75842135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12254867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.317301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102218 KachelY 96381 1.75842135 -1.12254867 100.750122 -64.317301
    Oben rechts KachelX + 1 102219 KachelY 96381 1.75846929 -1.12254867 100.752869 -64.317301
    Unten links KachelX 102218 KachelY + 1 96382 1.75842135 -1.12256944 100.750122 -64.318491
    Unten rechts KachelX + 1 102219 KachelY + 1 96382 1.75846929 -1.12256944 100.752869 -64.318491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12254867--1.12256944) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12254867--1.12256944) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75842135-1.75846929) × cos(-1.12254867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433386974731787 × 6371000     		do = 132.367537463731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75842135-1.75846929) × cos(-1.12256944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433368256549637 × 6371000     		du = 132.361820449096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12254867)-sin(-1.12256944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433386974731787-0.433368256549637)×R²
    abs(1.75846929-1.75842135)×1.87181821505455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87181821505455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87181821505455e-05×40589641000000     		ar = 17515.2448277593m²