Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102217 / 97022
↖ ↑ ↗
← S 65.069815°
E100.747375°		 ← 128.74 m → S 65.069815°
E100.750122°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
S 65.070973°
E100.747375°		 ← 128.74 m →
16 576 m²		 S 65.070973°
E100.750122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779857635498047 y=0.740222930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779857635498047 × 217)
    floor (0.779857635498047 × 131072)
    floor (102217.5)     		tx = 102217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740222930908203 × 217)
    floor (0.740222930908203 × 131072)
    floor (97022.5)     		ty = 97022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102217 / 97022 ti = "17/102217/97022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102217/97022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102217 ÷ 217
    102217 ÷ 131072     		x = 0.779853820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97022 ÷ 217
    97022 ÷ 131072     		y = 0.740219116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779853820800781 × 2 - 1) × π
    0.559707641601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75837341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740219116210938 × 2 - 1) × π
    -0.480438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50934122143709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75837341} λ = 1.75837341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50934122143709))-π/2
    2×atan(0.221055556663991)-π/2
    2×0.217556907944091-π/2
    0.435113815888183-1.57079632675     		φ = -1.13568251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75837341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.747375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13568251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.069815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102217 KachelY 97022 1.75837341 -1.13568251 100.747375 -65.069815
    Oben rechts KachelX + 1 102218 KachelY 97022 1.75842135 -1.13568251 100.750122 -65.069815
    Unten links KachelX 102217 KachelY + 1 97023 1.75837341 -1.13570272 100.747375 -65.070973
    Unten rechts KachelX + 1 102218 KachelY + 1 97023 1.75842135 -1.13570272 100.750122 -65.070973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13568251--1.13570272) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13568251--1.13570272) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75837341-1.75842135) × cos(-1.13568251) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421513615678497 × 6371000     		do = 128.741107989192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75837341-1.75842135) × cos(-1.13570272) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421495288718324 × 6371000     		du = 128.735510463819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13568251)-sin(-1.13570272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421513615678497-0.421495288718324)×R²
    abs(1.75842135-1.75837341)×1.83269601732317e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83269601732317e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83269601732317e-05×40589641000000     		ar = 16576.0756334463m²