Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102216 / 98488
↖ ↑ ↗
← S 66.713856°
E100.744629°		 ← 120.72 m → S 66.713856°
E100.747375°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.714942°
E100.744629°		 ← 120.71 m →
14 574 m²		 S 66.714942°
E100.747375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779850006103516 y=0.751407623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779850006103516 × 217)
    floor (0.779850006103516 × 131072)
    floor (102216.5)     		tx = 102216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751407623291016 × 217)
    floor (0.751407623291016 × 131072)
    floor (98488.5)     		ty = 98488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102216 / 98488 ti = "17/102216/98488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102216/98488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102216 ÷ 217
    102216 ÷ 131072     		x = 0.77984619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98488 ÷ 217
    98488 ÷ 131072     		y = 0.75140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    0.5596923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75832548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57961671628009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75832548} λ = 1.75832548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57961671628009))-π/2
    2×atan(0.206054060238196)-π/2
    2×0.203209936674279-π/2
    0.406419873348558-1.57079632675     		φ = -1.16437645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75832548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16437645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.713856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102216 KachelY 98488 1.75832548 -1.16437645 100.744629 -66.713856
    Oben rechts KachelX + 1 102217 KachelY 98488 1.75837341 -1.16437645 100.747375 -66.713856
    Unten links KachelX 102216 KachelY + 1 98489 1.75832548 -1.16439540 100.744629 -66.714942
    Unten rechts KachelX + 1 102217 KachelY + 1 98489 1.75837341 -1.16439540 100.747375 -66.714942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16437645--1.16439540) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16437645--1.16439540) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75832548-1.75837341) × cos(-1.16437645) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395323374917439 × 6371000     		do = 120.716748270755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75832548-1.75837341) × cos(-1.16439540) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.395305968475317 × 6371000     		du = 120.711433004253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16437645)-sin(-1.16439540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395323374917439-0.395305968475317)×R²
    abs(1.75837341-1.75832548)×1.74064421220588e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.74064421220588e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.74064421220588e-05×40589641000000     		ar = 14573.8664844971m²