Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102214 / 98487
↖ ↑ ↗
← S 66.712771°
E100.739135°		 ← 120.75 m → S 66.712771°
E100.741882°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.713856°
E100.739135°		 ← 120.74 m →
14 578 m²		 S 66.713856°
E100.741882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779834747314453 y=0.751399993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779834747314453 × 217)
    floor (0.779834747314453 × 131072)
    floor (102214.5)     		tx = 102214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751399993896484 × 217)
    floor (0.751399993896484 × 131072)
    floor (98487.5)     		ty = 98487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102214 / 98487 ti = "17/102214/98487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102214/98487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102214 ÷ 217
    102214 ÷ 131072     		x = 0.779830932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98487 ÷ 217
    98487 ÷ 131072     		y = 0.751396179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779830932617188 × 2 - 1) × π
    0.559661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75822960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751396179199219 × 2 - 1) × π
    -0.502792358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57956877938047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75822960} λ = 1.75822960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57956877938047))-π/2
    2×atan(0.206063938067753)-π/2
    2×0.203219412171284-π/2
    0.406438824342568-1.57079632675     		φ = -1.16435750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75822960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.739135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16435750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.712771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102214 KachelY 98487 1.75822960 -1.16435750 100.739135 -66.712771
    Oben rechts KachelX + 1 102215 KachelY 98487 1.75827754 -1.16435750 100.741882 -66.712771
    Unten links KachelX 102214 KachelY + 1 98488 1.75822960 -1.16437645 100.739135 -66.713856
    Unten rechts KachelX + 1 102215 KachelY + 1 98488 1.75827754 -1.16437645 100.741882 -66.713856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16435750--1.16437645) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16435750--1.16437645) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75822960-1.75827754) × cos(-1.16435750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395340781217599 × 6371000     		do = 120.747250655484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75822960-1.75827754) × cos(-1.16437645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395323374917439 × 6371000     		du = 120.741934323377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16435750)-sin(-1.16437645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395340781217599-0.395323374917439)×R²
    abs(1.75827754-1.75822960)×1.74063001603941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74063001603941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74063001603941e-05×40589641000000     		ar = 14577.5489867461m²