Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102210 / 98532
↖ ↑ ↗
← S 66.761585°
E100.728150°		 ← 120.48 m → S 66.761585°
E100.730896°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.762668°
E100.728150°		 ← 120.48 m →
14 515 m²		 S 66.762668°
E100.730896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779804229736328 y=0.751743316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779804229736328 × 217)
    floor (0.779804229736328 × 131072)
    floor (102210.5)     		tx = 102210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751743316650391 × 217)
    floor (0.751743316650391 × 131072)
    floor (98532.5)     		ty = 98532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102210 / 98532 ti = "17/102210/98532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102210/98532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102210 ÷ 217
    102210 ÷ 131072     		x = 0.779800415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98532 ÷ 217
    98532 ÷ 131072     		y = 0.751739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779800415039062 × 2 - 1) × π
    0.559600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75803786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.50347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58172593986337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75803786} λ = 1.75803786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58172593986337))-π/2
    2×atan(0.205619904181964)-π/2
    2×0.202793427637927-π/2
    0.405586855275854-1.57079632675     		φ = -1.16520947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75803786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.728150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16520947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.761585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102210 KachelY 98532 1.75803786 -1.16520947 100.728150 -66.761585
    Oben rechts KachelX + 1 102211 KachelY 98532 1.75808579 -1.16520947 100.730896 -66.761585
    Unten links KachelX 102210 KachelY + 1 98533 1.75803786 -1.16522838 100.728150 -66.762668
    Unten rechts KachelX + 1 102211 KachelY + 1 98533 1.75808579 -1.16522838 100.730896 -66.762668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16520947--1.16522838) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16520947--1.16522838) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75803786-1.75808579) × cos(-1.16520947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394558073976597 × 6371000     		do = 120.483054422458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75803786-1.75808579) × cos(-1.16522838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394540698055324 × 6371000     		du = 120.477748475864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16520947)-sin(-1.16522838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394558073976597-0.394540698055324)×R²
    abs(1.75808579-1.75803786)×1.73759212732105e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73759212732105e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73759212732105e-05×40589641000000     		ar = 14514.9498581214m²