Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10221 / 2170
↖ ↑ ↗
← N 78.655967°
E 44.582519°		 ← 480.59 m → N 78.655967°
E 44.604492°		 →
↑
480.69 m
↓
↑
480.69 m
↓
N 78.651644°
E 44.582519°		 ← 480.77 m →
231 060 m²		 N 78.651644°
E 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623870849609375 y=0.132476806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623870849609375 × 214)
    floor (0.623870849609375 × 16384)
    floor (10221.5)     		tx = 10221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132476806640625 × 214)
    floor (0.132476806640625 × 16384)
    floor (2170.5)     		ty = 2170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10221 / 2170 ti = "14/10221/2170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10221/2170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10221 ÷ 214
    10221 ÷ 16384     		x = 0.62384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2170 ÷ 214
    2170 ÷ 16384     		y = 0.1324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62384033203125 × 2 - 1) × π
    0.2476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77811175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    0.735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30940807609583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77811175} λ = 0.77811175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30940807609583))-π/2
    2×atan(10.0684631267991)-π/2
    2×1.47180096303577-π/2
    2.94360192607154-1.57079632675     		φ = 1.37280560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77811175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.582519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37280560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.655967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10221 KachelY 2170 0.77811175 1.37280560 44.582519 78.655967
    Oben rechts KachelX + 1 10222 KachelY 2170 0.77849525 1.37280560 44.604492 78.655967
    Unten links KachelX 10221 KachelY + 1 2171 0.77811175 1.37273015 44.582519 78.651644
    Unten rechts KachelX + 1 10222 KachelY + 1 2171 0.77849525 1.37273015 44.604492 78.651644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37280560-1.37273015) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dl = 480.691949999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37280560-1.37273015) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dr = 480.691949999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77811175-0.77849525) × cos(1.37280560) × R
    0.000383499999999981 × 0.196699709574332 × 6371000     		do = 480.592171359186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77811175-0.77849525) × cos(1.37273015) × R
    0.000383499999999981 × 0.1967736850066 × 6371000     		du = 480.772913942375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37280560)-sin(1.37273015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196699709574332-0.1967736850066)×R²
    abs(0.77849525-0.77811175)×7.39754322682251e-05×R²
    0.000383499999999981×7.39754322682251e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.39754322682251e-05×40589641000000     		ar = 231060.228868256m²