Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102209 / 99519
↖ ↑ ↗
← S 67.808207°
E100.725403°		 ← 115.36 m → S 67.808207°
E100.728150°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.809245°
E100.725403°		 ← 115.36 m →
13 310 m²		 S 67.809245°
E100.728150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779796600341797 y=0.759273529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779796600341797 × 217)
    floor (0.779796600341797 × 131072)
    floor (102209.5)     		tx = 102209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759273529052734 × 217)
    floor (0.759273529052734 × 131072)
    floor (99519.5)     		ty = 99519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102209 / 99519 ti = "17/102209/99519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102209/99519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102209 ÷ 217
    102209 ÷ 131072     		x = 0.779792785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99519 ÷ 217
    99519 ÷ 131072     		y = 0.759269714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779792785644531 × 2 - 1) × π
    0.559585571289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75798992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759269714355469 × 2 - 1) × π
    -0.518539428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62903965978837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75798992} λ = 1.75798992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62903965978837))-π/2
    2×atan(0.19611782355287)-π/2
    2×0.193659926324617-π/2
    0.387319852649234-1.57079632675     		φ = -1.18347647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75798992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.725403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18347647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.808207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102209 KachelY 99519 1.75798992 -1.18347647 100.725403 -67.808207
    Oben rechts KachelX + 1 102210 KachelY 99519 1.75803786 -1.18347647 100.728150 -67.808207
    Unten links KachelX 102209 KachelY + 1 99520 1.75798992 -1.18349458 100.725403 -67.809245
    Unten rechts KachelX + 1 102210 KachelY + 1 99520 1.75803786 -1.18349458 100.728150 -67.809245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18347647--1.18349458) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18347647--1.18349458) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75798992-1.75803786) × cos(-1.18347647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377708163881022 × 6371000     		do = 115.361795457327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75798992-1.75803786) × cos(-1.18349458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377691395322837 × 6371000     		du = 115.356673908034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18347647)-sin(-1.18349458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377708163881022-0.377691395322837)×R²
    abs(1.75803786-1.75798992)×1.67685581852761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67685581852761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67685581852761e-05×40589641000000     		ar = 13310.0112205652m²