Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102204 / 98476
↖ ↑ ↗
← S 66.700824°
E100.711670°		 ← 120.78 m → S 66.700824°
E100.714416°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.701910°
E100.711670°		 ← 120.78 m →
14 589 m²		 S 66.701910°
E100.714416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779758453369141 y=0.751316070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779758453369141 × 217)
    floor (0.779758453369141 × 131072)
    floor (102204.5)     		tx = 102204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751316070556641 × 217)
    floor (0.751316070556641 × 131072)
    floor (98476.5)     		ty = 98476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102204 / 98476 ti = "17/102204/98476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102204/98476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102204 ÷ 217
    102204 ÷ 131072     		x = 0.779754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98476 ÷ 217
    98476 ÷ 131072     		y = 0.751312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    0.55950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75775024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.50262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57904147348465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75775024} λ = 1.75775024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57904147348465))-π/2
    2×atan(0.206172625450442)-π/2
    2×0.203323670178908-π/2
    0.406647340357815-1.57079632675     		φ = -1.16414899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75775024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16414899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.700824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102204 KachelY 98476 1.75775024 -1.16414899 100.711670 -66.700824
    Oben rechts KachelX + 1 102205 KachelY 98476 1.75779817 -1.16414899 100.714416 -66.700824
    Unten links KachelX 102204 KachelY + 1 98477 1.75775024 -1.16416795 100.711670 -66.701910
    Unten rechts KachelX + 1 102205 KachelY + 1 98477 1.75779817 -1.16416795 100.714416 -66.701910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16414899--1.16416795) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16414899--1.16416795) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75775024-1.75779817) × cos(-1.16414899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395532296255234 × 6371000     		do = 120.780544915134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75775024-1.75779817) × cos(-1.16416795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395514882332918 × 6371000     		du = 120.775227364465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16414899)-sin(-1.16416795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395532296255234-0.395514882332918)×R²
    abs(1.75779817-1.75775024)×1.74139223160785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74139223160785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74139223160785e-05×40589641000000     		ar = 14589.2633033574m²