Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102204 / 97546
↖ ↑ ↗
← S 65.669593°
E100.711670°		 ← 125.81 m → S 65.669593°
E100.714416°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.670724°
E100.711670°		 ← 125.80 m →
15 830 m²		 S 65.670724°
E100.714416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779758453369141 y=0.744220733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779758453369141 × 217)
    floor (0.779758453369141 × 131072)
    floor (102204.5)     		tx = 102204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744220733642578 × 217)
    floor (0.744220733642578 × 131072)
    floor (97546.5)     		ty = 97546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102204 / 97546 ti = "17/102204/97546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102204/97546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102204 ÷ 217
    102204 ÷ 131072     		x = 0.779754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97546 ÷ 217
    97546 ÷ 131072     		y = 0.744216918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    0.55950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75775024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744216918945312 × 2 - 1) × π
    -0.488433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.534460156838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75775024} λ = 1.75775024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.534460156838))-π/2
    2×atan(0.21557203485218)-π/2
    2×0.212322856532089-π/2
    0.424645713064178-1.57079632675     		φ = -1.14615061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75775024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14615061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.669593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102204 KachelY 97546 1.75775024 -1.14615061 100.711670 -65.669593
    Oben rechts KachelX + 1 102205 KachelY 97546 1.75779817 -1.14615061 100.714416 -65.669593
    Unten links KachelX 102204 KachelY + 1 97547 1.75775024 -1.14617036 100.711670 -65.670724
    Unten rechts KachelX + 1 102205 KachelY + 1 97547 1.75779817 -1.14617036 100.714416 -65.670724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14615061--1.14617036) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dl = 125.827249999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14615061--1.14617036) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dr = 125.827249999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75775024-1.75779817) × cos(-1.14615061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411997990151344 × 6371000     		do = 125.808542628611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75775024-1.75779817) × cos(-1.14617036) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411979994172099 × 6371000     		du = 125.803047339857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14615061)-sin(-1.14617036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411997990151344-0.411979994172099)×R²
    abs(1.75779817-1.75775024)×1.79959792447892e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79959792447892e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79959792447892e-05×40589641000000     		ar = 15829.7972172711m²