Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102202 / 96362
↖ ↑ ↗
← S 64.294675°
E100.706177°		 ← 132.48 m → S 64.294675°
E100.708923°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
S 64.295867°
E100.706177°		 ← 132.47 m →
17 555 m²		 S 64.295867°
E100.708923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779743194580078 y=0.735187530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779743194580078 × 217)
    floor (0.779743194580078 × 131072)
    floor (102202.5)     		tx = 102202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735187530517578 × 217)
    floor (0.735187530517578 × 131072)
    floor (96362.5)     		ty = 96362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102202 / 96362 ti = "17/102202/96362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102202/96362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102202 ÷ 217
    102202 ÷ 131072     		x = 0.779739379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96362 ÷ 217
    96362 ÷ 131072     		y = 0.735183715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779739379882812 × 2 - 1) × π
    0.559478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75765436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735183715820312 × 2 - 1) × π
    -0.470367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47770286768785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75765436} λ = 1.75765436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47770286768785))-π/2
    2×atan(0.228161203334609)-π/2
    2×0.224321276503223-π/2
    0.448642553006445-1.57079632675     		φ = -1.12215377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75765436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.706177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12215377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.294675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102202 KachelY 96362 1.75765436 -1.12215377 100.706177 -64.294675
    Oben rechts KachelX + 1 102203 KachelY 96362 1.75770230 -1.12215377 100.708923 -64.294675
    Unten links KachelX 102202 KachelY + 1 96363 1.75765436 -1.12217457 100.706177 -64.295867
    Unten rechts KachelX + 1 102203 KachelY + 1 96363 1.75770230 -1.12217457 100.708923 -64.295867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12215377--1.12217457) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dl = 132.516800000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12215377--1.12217457) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dr = 132.516800000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75765436-1.75770230) × cos(-1.12215377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433742827940961 × 6371000     		do = 132.476224193474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75765436-1.75770230) × cos(-1.12217457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433724086283493 × 6371000     		du = 132.470500008873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12215377)-sin(-1.12217457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433742827940961-0.433724086283493)×R²
    abs(1.75770230-1.75765436)×1.87416574684018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87416574684018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87416574684018e-05×40589641000000     		ar = 17554.9460316501m²