Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102201 / 98861
↖ ↑ ↗
← S 67.115544°
E100.703430°		 ← 118.77 m → S 67.115544°
E100.706177°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.116612°
E100.703430°		 ← 118.77 m →
14 105 m²		 S 67.116612°
E100.706177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779735565185547 y=0.754253387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779735565185547 × 217)
    floor (0.779735565185547 × 131072)
    floor (102201.5)     		tx = 102201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754253387451172 × 217)
    floor (0.754253387451172 × 131072)
    floor (98861.5)     		ty = 98861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102201 / 98861 ti = "17/102201/98861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102201/98861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102201 ÷ 217
    102201 ÷ 131072     		x = 0.779731750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98861 ÷ 217
    98861 ÷ 131072     		y = 0.754249572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779731750488281 × 2 - 1) × π
    0.559463500976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75760642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754249572753906 × 2 - 1) × π
    -0.508499145507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59749717983837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75760642} λ = 1.75760642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59749717983837))-π/2
    2×atan(0.202402461549212)-π/2
    2×0.199704548146587-π/2
    0.399409096293175-1.57079632675     		φ = -1.17138723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75760642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.703430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17138723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.115544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102201 KachelY 98861 1.75760642 -1.17138723 100.703430 -67.115544
    Oben rechts KachelX + 1 102202 KachelY 98861 1.75765436 -1.17138723 100.706177 -67.115544
    Unten links KachelX 102201 KachelY + 1 98862 1.75760642 -1.17140587 100.703430 -67.116612
    Unten rechts KachelX + 1 102202 KachelY + 1 98862 1.75765436 -1.17140587 100.706177 -67.116612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17138723--1.17140587) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dl = 118.755440001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17138723--1.17140587) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dr = 118.755440001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75760642-1.75765436) × cos(-1.17138723) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388874016460935 × 6371000     		do = 118.772134244825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75760642-1.75765436) × cos(-1.17140587) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388856843530224 × 6371000     		du = 118.766889189755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17138723)-sin(-1.17140587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388874016460935-0.388856843530224)×R²
    abs(1.75765436-1.75760642)×1.71729307101853e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71729307101853e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71729307101853e-05×40589641000000     		ar = 14104.5256230659m²