Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102201 / 96967
↖ ↑ ↗
← S 65.006064°
E100.703430°		 ← 129.05 m → S 65.006064°
E100.706177°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.007224°
E100.703430°		 ← 129.04 m →
16 649 m²		 S 65.007224°
E100.706177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779735565185547 y=0.739803314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779735565185547 × 217)
    floor (0.779735565185547 × 131072)
    floor (102201.5)     		tx = 102201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739803314208984 × 217)
    floor (0.739803314208984 × 131072)
    floor (96967.5)     		ty = 96967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102201 / 96967 ti = "17/102201/96967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102201/96967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102201 ÷ 217
    102201 ÷ 131072     		x = 0.779731750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96967 ÷ 217
    96967 ÷ 131072     		y = 0.739799499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779731750488281 × 2 - 1) × π
    0.559463500976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75760642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739799499511719 × 2 - 1) × π
    -0.479598999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50670469195798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75760642} λ = 1.75760642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50670469195798))-π/2
    2×atan(0.22163914514171)-π/2
    2×0.218113239156093-π/2
    0.436226478312186-1.57079632675     		φ = -1.13456985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75760642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.703430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13456985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.006064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102201 KachelY 96967 1.75760642 -1.13456985 100.703430 -65.006064
    Oben rechts KachelX + 1 102202 KachelY 96967 1.75765436 -1.13456985 100.706177 -65.006064
    Unten links KachelX 102201 KachelY + 1 96968 1.75760642 -1.13459010 100.703430 -65.007224
    Unten rechts KachelX + 1 102202 KachelY + 1 96968 1.75765436 -1.13459010 100.706177 -65.007224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13456985--1.13459010) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13456985--1.13459010) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75760642-1.75765436) × cos(-1.13456985) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.42252233919839 × 6371000     		do = 129.049198116712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75760642-1.75765436) × cos(-1.13459010) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422503985473428 × 6371000     		du = 129.043592416684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13456985)-sin(-1.13459010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42252233919839-0.422503985473428)×R²
    abs(1.75765436-1.75760642)×1.83537249620058e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83537249620058e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83537249620058e-05×40589641000000     		ar = 16648.6303314983m²