Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10220 / 2485
↖ ↑ ↗
← N 77.210777°
E 44.560547°		 ← 540.84 m → N 77.210777°
E 44.582519°		 →
↑
540.96 m
↓
↑
540.96 m
↓
N 77.205912°
E 44.560547°		 ← 541.04 m →
292 630 m²		 N 77.205912°
E 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623809814453125 y=0.151702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623809814453125 × 214)
    floor (0.623809814453125 × 16384)
    floor (10220.5)     		tx = 10220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151702880859375 × 214)
    floor (0.151702880859375 × 16384)
    floor (2485.5)     		ty = 2485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10220 / 2485 ti = "14/10220/2485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10220/2485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10220 ÷ 214
    10220 ÷ 16384     		x = 0.623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2485 ÷ 214
    2485 ÷ 16384     		y = 0.15167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15167236328125 × 2 - 1) × π
    0.6966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18860708905328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77772826} λ = 0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18860708905328))-π/2
    2×atan(8.92277582257112)-π/2
    2×1.45918929723381-π/2
    2.91837859446763-1.57079632675     		φ = 1.34758227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34758227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.210777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10220 KachelY 2485 0.77772826 1.34758227 44.560547 77.210777
    Oben rechts KachelX + 1 10221 KachelY 2485 0.77811175 1.34758227 44.582519 77.210777
    Unten links KachelX 10220 KachelY + 1 2486 0.77772826 1.34749736 44.560547 77.205912
    Unten rechts KachelX + 1 10221 KachelY + 1 2486 0.77811175 1.34749736 44.582519 77.205912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34758227-1.34749736) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dl = 540.961609999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34758227-1.34749736) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dr = 540.961609999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77772826-0.77811175) × cos(1.34758227) × R
    0.000383490000000042 × 0.22136508033616 × 6371000     		do = 540.842438266903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77772826-0.77811175) × cos(1.34749736) × R
    0.000383490000000042 × 0.221447883006523 × 6371000     		du = 541.044742975785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34758227)-sin(1.34749736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22136508033616-0.221447883006523)×R²
    abs(0.77811175-0.77772826)×8.28026703628137e-05×R²
    0.000383490000000042×8.28026703628137e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.28026703628137e-05×40589641000000     		ar = 292629.715877601m²