Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1022 / 5117
↖ ↑ ↗
← S 40.880295°
W135.087891°		 ← 3 694.57 m → S 40.880295°
W135.043945°		 →
↑
3 693.65 m
↓
↑
3 693.65 m
↓
S 40.913512°
W135.087891°		 ← 3 692.72 m →
13 643 038 m²		 S 40.913512°
W135.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12481689453125 y=0.62469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12481689453125 × 213)
    floor (0.12481689453125 × 8192)
    floor (1022.5)     		tx = 1022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62469482421875 × 213)
    floor (0.62469482421875 × 8192)
    floor (5117.5)     		ty = 5117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1022 / 5117 ti = "13/1022/5117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1022/5117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1022 ÷ 213
    1022 ÷ 8192     		x = 0.124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5117 ÷ 213
    5117 ÷ 8192     		y = 0.6246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35772847} λ = -2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783097192193237))-π/2
    2×atan(0.456988436170182)-π/2
    2×0.428650291634708-π/2
    0.857300583269417-1.57079632675     		φ = -0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1022 KachelY 5117 -2.35772847 -0.71349574 -135.087891 -40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 1023 KachelY 5117 -2.35696148 -0.71349574 -135.043945 -40.880295
    Unten links KachelX 1022 KachelY + 1 5118 -2.35772847 -0.71407550 -135.087891 -40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 1023 KachelY + 1 5118 -2.35696148 -0.71407550 -135.043945 -40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71349574--0.71407550) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dl = 3693.65095999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71349574--0.71407550) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dr = 3693.65095999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35772847--2.35696148) × cos(-0.71349574) × R
    0.000766990000000245 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 3694.57303289617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35772847--2.35696148) × cos(-0.71407550) × R
    0.000766990000000245 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 3692.7182722798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71349574)-sin(-0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.75569903673778)×R²
    abs(-2.35696148--2.35772847)×0.000379568845445544×R²
    0.000766990000000245×0.000379568845445544×6371000²
    0.000766990000000245×0.000379568845445544×40589641000000     		ar = 13643038.1927219m²