Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102198 / 96466
↖ ↑ ↗
← S 64.418293°
E100.695190°		 ← 131.88 m → S 64.418293°
E100.697937°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.419480°
E100.695190°		 ← 131.88 m →
17 392 m²		 S 64.419480°
E100.697937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779712677001953 y=0.735980987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779712677001953 × 217)
    floor (0.779712677001953 × 131072)
    floor (102198.5)     		tx = 102198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735980987548828 × 217)
    floor (0.735980987548828 × 131072)
    floor (96466.5)     		ty = 96466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102198 / 96466 ti = "17/102198/96466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102198/96466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102198 ÷ 217
    102198 ÷ 131072     		x = 0.779708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96466 ÷ 217
    96466 ÷ 131072     		y = 0.735977172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779708862304688 × 2 - 1) × π
    0.559417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75746261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735977172851562 × 2 - 1) × π
    -0.471954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48268830524834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75746261} λ = 1.75746261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48268830524834))-π/2
    2×atan(0.227026550621895)-π/2
    2×0.223242503230879-π/2
    0.446485006461758-1.57079632675     		φ = -1.12431132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75746261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.695190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12431132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.418293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102198 KachelY 96466 1.75746261 -1.12431132 100.695190 -64.418293
    Oben rechts KachelX + 1 102199 KachelY 96466 1.75751055 -1.12431132 100.697937 -64.418293
    Unten links KachelX 102198 KachelY + 1 96467 1.75746261 -1.12433202 100.695190 -64.419480
    Unten rechts KachelX + 1 102199 KachelY + 1 96467 1.75751055 -1.12433202 100.697937 -64.419480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12431132--1.12433202) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12431132--1.12433202) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75746261-1.75751055) × cos(-1.12431132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431797788147027 × 6371000     		do = 131.882158975082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75746261-1.75751055) × cos(-1.12433202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431779117266461 × 6371000     		du = 131.876456407569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12431132)-sin(-1.12433202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431797788147027-0.431779117266461)×R²
    abs(1.75751055-1.75746261)×1.86708805658409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86708805658409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86708805658409e-05×40589641000000     		ar = 17392.2035353786m²