Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102198 / 96450
↖ ↑ ↗
← S 64.399311°
E100.695190°		 ← 131.97 m → S 64.399311°
E100.697937°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
S 64.400498°
E100.695190°		 ← 131.97 m →
17 413 m²		 S 64.400498°
E100.697937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779712677001953 y=0.735858917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779712677001953 × 217)
    floor (0.779712677001953 × 131072)
    floor (102198.5)     		tx = 102198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735858917236328 × 217)
    floor (0.735858917236328 × 131072)
    floor (96450.5)     		ty = 96450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102198 / 96450 ti = "17/102198/96450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102198/96450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102198 ÷ 217
    102198 ÷ 131072     		x = 0.779708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96450 ÷ 217
    96450 ÷ 131072     		y = 0.735855102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779708862304688 × 2 - 1) × π
    0.559417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75746261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735855102539062 × 2 - 1) × π
    -0.471710205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48192131485442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75746261} λ = 1.75746261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48192131485442))-π/2
    2×atan(0.227200744599401)-π/2
    2×0.223408152897381-π/2
    0.446816305794762-1.57079632675     		φ = -1.12398002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75746261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.695190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12398002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.399311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102198 KachelY 96450 1.75746261 -1.12398002 100.695190 -64.399311
    Oben rechts KachelX + 1 102199 KachelY 96450 1.75751055 -1.12398002 100.697937 -64.399311
    Unten links KachelX 102198 KachelY + 1 96451 1.75746261 -1.12400073 100.695190 -64.400498
    Unten rechts KachelX + 1 102199 KachelY + 1 96451 1.75751055 -1.12400073 100.697937 -64.400498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12398002--1.12400073) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dl = 131.943409998807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12398002--1.12400073) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dr = 131.943409998807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75746261-1.75751055) × cos(-1.12398002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432096587250514 × 6371000     		do = 131.973419912376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75746261-1.75751055) × cos(-1.12400073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432077910313776 × 6371000     		du = 131.967715495152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12398002)-sin(-1.12400073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432096587250514-0.432077910313776)×R²
    abs(1.75751055-1.75746261)×1.86769367374051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86769367374051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86769367374051e-05×40589641000000     		ar = 17412.6467228218m²