Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102197 / 97020
↖ ↑ ↗
← S 65.067499°
E100.692444°		 ← 128.73 m → S 65.067499°
E100.695190°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.068657°
E100.692444°		 ← 128.72 m →
16 566 m²		 S 65.068657°
E100.695190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779705047607422 y=0.740207672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779705047607422 × 217)
    floor (0.779705047607422 × 131072)
    floor (102197.5)     		tx = 102197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740207672119141 × 217)
    floor (0.740207672119141 × 131072)
    floor (97020.5)     		ty = 97020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102197 / 97020 ti = "17/102197/97020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102197/97020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102197 ÷ 217
    102197 ÷ 131072     		x = 0.779701232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97020 ÷ 217
    97020 ÷ 131072     		y = 0.740203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779701232910156 × 2 - 1) × π
    0.559402465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75741468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.48040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50924534763785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75741468} λ = 1.75741468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50924534763785))-π/2
    2×atan(0.221076751116032)-π/2
    2×0.217577114878317-π/2
    0.435154229756634-1.57079632675     		φ = -1.13564210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75741468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.692444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13564210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.067499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102197 KachelY 97020 1.75741468 -1.13564210 100.692444 -65.067499
    Oben rechts KachelX + 1 102198 KachelY 97020 1.75746261 -1.13564210 100.695190 -65.067499
    Unten links KachelX 102197 KachelY + 1 97021 1.75741468 -1.13566230 100.692444 -65.068657
    Unten rechts KachelX + 1 102198 KachelY + 1 97021 1.75746261 -1.13566230 100.695190 -65.068657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13564210--1.13566230) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dl = 128.694199998749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13564210--1.13566230) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dr = 128.694199998749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75741468-1.75746261) × cos(-1.13564210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		do = 128.725443145071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75741468-1.75746261) × cos(-1.13566230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421531942466506 × 6371000     		du = 128.719849661494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13564210)-sin(-1.13566230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421550260014291-0.421531942466506)×R²
    abs(1.75746261-1.75741468)×1.83175477857511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83175477857511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83175477857511e-05×40589641000000     		ar = 16565.8580011224m²