Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102196 / 96996
↖ ↑ ↗
← S 65.039697°
E100.689697°		 ← 128.89 m → S 65.039697°
E100.692444°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
S 65.040856°
E100.689697°		 ← 128.88 m →
16 603 m²		 S 65.040856°
E100.692444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779697418212891 y=0.740024566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779697418212891 × 217)
    floor (0.779697418212891 × 131072)
    floor (102196.5)     		tx = 102196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740024566650391 × 217)
    floor (0.740024566650391 × 131072)
    floor (96996.5)     		ty = 96996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102196 / 96996 ti = "17/102196/96996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102196/96996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102196 ÷ 217
    102196 ÷ 131072     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96996 ÷ 217
    96996 ÷ 131072     		y = 0.740020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.48004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50809486204697))-π/2
    2×atan(0.221331243099279)-π/2
    2×0.217819735157092-π/2
    0.435639470314183-1.57079632675     		φ = -1.13515686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13515686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.039697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102196 KachelY 96996 1.75736674 -1.13515686 100.689697 -65.039697
    Oben rechts KachelX + 1 102197 KachelY 96996 1.75741468 -1.13515686 100.692444 -65.039697
    Unten links KachelX 102196 KachelY + 1 96997 1.75736674 -1.13517708 100.689697 -65.040856
    Unten rechts KachelX + 1 102197 KachelY + 1 96997 1.75741468 -1.13517708 100.692444 -65.040856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13515686--1.13517708) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dl = 128.821620000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13515686--1.13517708) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dr = 128.821620000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75741468) × cos(-1.13515686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		do = 128.886677795609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75741468) × cos(-1.13517708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421971896899436 × 6371000     		du = 128.881078869629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13515686)-sin(-1.13517708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421990228445362-0.421971896899436)×R²
    abs(1.75741468-1.75736674)×1.83315459260647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83315459260647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83315459260647e-05×40589641000000     		ar = 16603.0299992827m²