Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102195 / 96995
↖ ↑ ↗
← S 65.038538°
E100.686951°		 ← 128.89 m → S 65.038538°
E100.689697°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.039697°
E100.686951°		 ← 128.89 m →
16 612 m²		 S 65.039697°
E100.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779689788818359 y=0.740016937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779689788818359 × 217)
    floor (0.779689788818359 × 131072)
    floor (102195.5)     		tx = 102195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740016937255859 × 217)
    floor (0.740016937255859 × 131072)
    floor (96995.5)     		ty = 96995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102195 / 96995 ti = "17/102195/96995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102195/96995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102195 ÷ 217
    102195 ÷ 131072     		x = 0.779685974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96995 ÷ 217
    96995 ÷ 131072     		y = 0.740013122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779685974121094 × 2 - 1) × π
    0.559371948242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75731880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740013122558594 × 2 - 1) × π
    -0.480026245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.50804692514735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75731880} λ = 1.75731880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50804692514735))-π/2
    2×atan(0.22134185328717)-π/2
    2×0.217829849828567-π/2
    0.435659699657133-1.57079632675     		φ = -1.13513663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75731880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.686951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13513663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.038538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102195 KachelY 96995 1.75731880 -1.13513663 100.686951 -65.038538
    Oben rechts KachelX + 1 102196 KachelY 96995 1.75736674 -1.13513663 100.689697 -65.038538
    Unten links KachelX 102195 KachelY + 1 96996 1.75731880 -1.13515686 100.686951 -65.039697
    Unten rechts KachelX + 1 102196 KachelY + 1 96996 1.75736674 -1.13515686 100.689697 -65.039697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13513663--1.13515686) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13513663--1.13515686) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75731880-1.75736674) × cos(-1.13513663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		do = 128.892279437859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75731880-1.75736674) × cos(-1.13515686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		du = 128.886677795609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13513663)-sin(-1.13515686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422008568884676-0.421990228445362)×R²
    abs(1.75736674-1.75731880)×1.83404393142017e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83404393142017e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83404393142017e-05×40589641000000     		ar = 16611.9629854691m²