Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102194 / 96994
↖ ↑ ↗
← S 65.037379°
E100.684204°		 ← 128.87 m → S 65.037379°
E100.686951°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.038538°
E100.684204°		 ← 128.87 m →
16 609 m²		 S 65.038538°
E100.686951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779682159423828 y=0.740009307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779682159423828 × 217)
    floor (0.779682159423828 × 131072)
    floor (102194.5)     		tx = 102194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740009307861328 × 217)
    floor (0.740009307861328 × 131072)
    floor (96994.5)     		ty = 96994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102194 / 96994 ti = "17/102194/96994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102194/96994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102194 ÷ 217
    102194 ÷ 131072     		x = 0.779678344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96994 ÷ 217
    96994 ÷ 131072     		y = 0.740005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779678344726562 × 2 - 1) × π
    0.559356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75727087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740005493164062 × 2 - 1) × π
    -0.480010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50799898824773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75727087} λ = 1.75727087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50799898824773))-π/2
    2×atan(0.221352463983692)-π/2
    2×0.217839964939626-π/2
    0.435679929879253-1.57079632675     		φ = -1.13511640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75727087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.684204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13511640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.037379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102194 KachelY 96994 1.75727087 -1.13511640 100.684204 -65.037379
    Oben rechts KachelX + 1 102195 KachelY 96994 1.75731880 -1.13511640 100.686951 -65.037379
    Unten links KachelX 102194 KachelY + 1 96995 1.75727087 -1.13513663 100.684204 -65.038538
    Unten rechts KachelX + 1 102195 KachelY + 1 96995 1.75731880 -1.13513663 100.686951 -65.038538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13511640--1.13513663) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13511640--1.13513663) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75727087-1.75731880) × cos(-1.13511640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		do = 128.87099369314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75727087-1.75731880) × cos(-1.13513663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		du = 128.865393272098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13511640)-sin(-1.13513663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422026909151282-0.422008568884676)×R²
    abs(1.75731880-1.75727087)×1.83402666062427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83402666062427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83402666062427e-05×40589641000000     		ar = 16609.2196441139m²