Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102193 / 96321
↖ ↑ ↗
← S 64.245788°
E100.681458°		 ← 132.71 m → S 64.245788°
E100.684204°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
S 64.246981°
E100.681458°		 ← 132.71 m →
17 611 m²		 S 64.246981°
E100.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779674530029297 y=0.734874725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779674530029297 × 217)
    floor (0.779674530029297 × 131072)
    floor (102193.5)     		tx = 102193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734874725341797 × 217)
    floor (0.734874725341797 × 131072)
    floor (96321.5)     		ty = 96321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102193 / 96321 ti = "17/102193/96321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102193/96321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102193 ÷ 217
    102193 ÷ 131072     		x = 0.779670715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96321 ÷ 217
    96321 ÷ 131072     		y = 0.734870910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779670715332031 × 2 - 1) × π
    0.559341430664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75722293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734870910644531 × 2 - 1) × π
    -0.469741821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.47573745480343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75722293} λ = 1.75722293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47573745480343))-π/2
    2×atan(0.228610075268215)-π/2
    2×0.224747895960113-π/2
    0.449495791920226-1.57079632675     		φ = -1.12130053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75722293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.681458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12130053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.245788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102193 KachelY 96321 1.75722293 -1.12130053 100.681458 -64.245788
    Oben rechts KachelX + 1 102194 KachelY 96321 1.75727087 -1.12130053 100.684204 -64.245788
    Unten links KachelX 102193 KachelY + 1 96322 1.75722293 -1.12132136 100.681458 -64.246981
    Unten rechts KachelX + 1 102194 KachelY + 1 96322 1.75727087 -1.12132136 100.684204 -64.246981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12130053--1.12132136) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12130053--1.12132136) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75722293-1.75727087) × cos(-1.12130053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434511470526777 × 6371000     		do = 132.710987424042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75722293-1.75727087) × cos(-1.12132136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434492709553507 × 6371000     		du = 132.705257339898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12130053)-sin(-1.12132136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434511470526777-0.434492709553507)×R²
    abs(1.75727087-1.75722293)×1.87609732696381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87609732696381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87609732696381e-05×40589641000000     		ar = 17611.4202161068m²