Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102190 / 97014
↖ ↑ ↗
← S 65.060551°
E100.673218°		 ← 128.79 m → S 65.060551°
E100.675965°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
S 65.061710°
E100.673218°		 ← 128.78 m →
16 590 m²		 S 65.061710°
E100.675965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779651641845703 y=0.740161895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779651641845703 × 217)
    floor (0.779651641845703 × 131072)
    floor (102190.5)     		tx = 102190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740161895751953 × 217)
    floor (0.740161895751953 × 131072)
    floor (97014.5)     		ty = 97014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102190 / 97014 ti = "17/102190/97014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102190/97014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102190 ÷ 217
    102190 ÷ 131072     		x = 0.779647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97014 ÷ 217
    97014 ÷ 131072     		y = 0.740158081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779647827148438 × 2 - 1) × π
    0.559295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75707912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740158081054688 × 2 - 1) × π
    -0.480316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50895772624013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75707912} λ = 1.75707912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50895772624013))-π/2
    2×atan(0.221140346665473)-π/2
    2×0.217637746222537-π/2
    0.435275492445074-1.57079632675     		φ = -1.13552083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75707912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13552083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.060551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102190 KachelY 97014 1.75707912 -1.13552083 100.673218 -65.060551
    Oben rechts KachelX + 1 102191 KachelY 97014 1.75712706 -1.13552083 100.675965 -65.060551
    Unten links KachelX 102190 KachelY + 1 97015 1.75707912 -1.13554105 100.673218 -65.061710
    Unten rechts KachelX + 1 102191 KachelY + 1 97015 1.75712706 -1.13554105 100.675965 -65.061710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13552083--1.13554105) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dl = 128.821620000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13552083--1.13554105) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dr = 128.821620000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75707912-1.75712706) × cos(-1.13552083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421660225161324 × 6371000     		do = 128.785886298379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75707912-1.75712706) × cos(-1.13554105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421641890511054 × 6371000     		du = 128.780286424253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13552083)-sin(-1.13554105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421660225161324-0.421641890511054)×R²
    abs(1.75712706-1.75707912)×1.83346502701798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83346502701798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83346502701798e-05×40589641000000     		ar = 16590.0458143741m²