Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10219 / 2135
↖ ↑ ↗
← N 78.806246°
E 44.538574°		 ← 474.31 m → N 78.806246°
E 44.560547°		 →
↑
474.38 m
↓
↑
474.38 m
↓
N 78.801980°
E 44.538574°		 ← 474.49 m →
225 046 m²		 N 78.801980°
E 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623748779296875 y=0.130340576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623748779296875 × 214)
    floor (0.623748779296875 × 16384)
    floor (10219.5)     		tx = 10219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130340576171875 × 214)
    floor (0.130340576171875 × 16384)
    floor (2135.5)     		ty = 2135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10219 / 2135 ti = "14/10219/2135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10219/2135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10219 ÷ 214
    10219 ÷ 16384     		x = 0.62371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2135 ÷ 214
    2135 ÷ 16384     		y = 0.13031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62371826171875 × 2 - 1) × π
    0.2474365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77734476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13031005859375 × 2 - 1) × π
    0.7393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32283040798944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77734476} λ = 0.77734476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32283040798944))-π/2
    2×atan(10.2045164141387)-π/2
    2×1.47311239767532-π/2
    2.94622479535063-1.57079632675     		φ = 1.37542847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77734476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.538574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37542847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.806246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10219 KachelY 2135 0.77734476 1.37542847 44.538574 78.806246
    Oben rechts KachelX + 1 10220 KachelY 2135 0.77772826 1.37542847 44.560547 78.806246
    Unten links KachelX 10219 KachelY + 1 2136 0.77734476 1.37535401 44.538574 78.801980
    Unten rechts KachelX + 1 10220 KachelY + 1 2136 0.77772826 1.37535401 44.560547 78.801980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37542847-1.37535401) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dl = 474.38465999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37542847-1.37535401) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dr = 474.38465999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77734476-0.77772826) × cos(1.37542847) × R
    0.000383499999999981 × 0.194127406895534 × 6371000     		do = 474.307319528587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77734476-0.77772826) × cos(1.37535401) × R
    0.000383499999999981 × 0.194200449854465 × 6371000     		du = 474.485783819718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37542847)-sin(1.37535401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194127406895534-0.194200449854465)×R²
    abs(0.77772826-0.77734476)×7.30429589304304e-05×R²
    0.000383499999999981×7.30429589304304e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.30429589304304e-05×40589641000000     		ar = 225046.446975413m²